Para o primeiro problema, considere a=x.exp(iA), b=y.exp(iB) e c=z.exp(iC).
Note que Kr é a parte imaginária de S(r)=a^r+b^r+c^r.
Seja Q(w) o polinômio (mônico) de grau 3 cujas raízes são a, b e c. Note
que:
Q(w)=w^3-S.w^2+D.w-P
onde
S=a+b+c=S(1) é real pois sua parte imaginária, K1, é nula;
D=ab+ac+bc=(S(1)^2-S(2))/2 é real pois S(1) e S(2) são reais (já que
K1=K2=0);
P=abc=xyz exp(i(A+B+C)) é real pois A+B+C é múltiplo de pi (e x,y,z são
reais).
Em suma, Q(w) tem coeficientes reais. Agora, "lembre" que, para todo r
natural, temos:
S(r+3)-S.S(r+2)+D.S(r+1)-P.S(r)=0
ou seja
S(r+3)=S.S(r+2)-D.S(r+1)+P.S(r)
Como S(0)=3 é real, assim como S(1) e S(2), fica claro (já que os
coeficientes da recorrência acima também são reais) que S(n) é real para
todo n. Em outras palavras, Kn=0 para todo n natural.
Abraço,
Ralph
>
>> Em 3 de março de 2012 17:02, Heitor Bueno Ponchio Xavier <
>> heitor.iyp...@gmail.com> escreveu:
>>
>> Não estou conseguindo resolver os seguintes problemas:
>>>
>>> 1) Sejam x,y,z,A,B,C reais tais que (A+B+C)/π é inteiro.
>>> Defina Kr = (x^r) sen (rA) +(y^r) sen (rB) + (z^r) sen (rC)
>>> Prove se K1 = K2 = 0 então Kn = 0 para todo n>0
>>>
>>> 2)Seja (1+x+x²+x³+x^4)^496 = A0 +A1 x+A2x² +...+A1984 x^1984
>>> i)Determine MDC(A3,A8,...,A1983)
>>> ii)Prove que 10^340 <A992<10^347
>>>
>>
>>
>
