Oi Joao, reescrevendo o "x" como "e ^ ln(x)", o que queremos calcular e' e ^ [ ln(x) * 1/x ] , quando x->inf.
Agora, acreditando que o limite da funcao seja a funcao do limite, basta calcularmos o limite de ln(x)/x , quando x->inf. Aplicando LHopital, basta derivarmos numerador e denominador, obtendo (1/x) / 1 , que vale zero quando x-> infinito. Portanto, o limite procurado vale e^0 = 1 []'s Rogerio Ponce Em 05/04/12, João Maldonado<joao_maldona...@hotmail.com> escreveu: > > Como posso provar o limite x^(1/x), x-> infinito? > > > Acho que consegui uma prova, mais ficou bem complexaVocês podem ver se tem > algum erro? > Primeiramente uso o limite (1+n/x)^x , x-> Infinito = e^nDaí vem a parte > meio conceitual:Vamos definir (por falta de palavras) um número infinital > como um número que tende ao infinito e um número normal como um número que > não tende ao infinitoSe n é infinital (Qualquer que seja esse infinito, > digamos uma fração do infinito do x, por exemplo, x/100)O limite tende ao > infinito > Se n é normal o limite é normal > Além disso é óbvio que x^(1/x)>1 para x>1 > Vamos supor agora que limite x^(1/x), x-> infinito = k, k>1Sendo k = > 1+k', k'>1 normal > É óbvio que k' pode ser escrito como a divisão de dois infinitais, digamos > n/x > Temos x = (1+n/x)^x, x-> infinito -> x = e^n = e^(k'.x) = e^k'^x > Vamos provar agora que e^(k'.x) > x, se x tende ao infinito > Derivando a função e^(k'.x)-x, temos k'.e^ (k'.x)-1, que é crescente > Além disso quando x = ln|1/k'|/k', temos coeficiente angular de 45º e quando > x=x1=ln(3^(1/2)/k')/k' temos coeficiente angular de 60º, Logo em algum x > normal <x1/(sqrt(3)-1), e^(k'.x) ultrapassa x, Ou seja e^(k'.x) > x, se x > tende ao infinito, qualquer que seja esse k' normal. Como k' pode ser tão > pequeno como queiramos, o limite tem que tender a 1 > > Isso está certo?Além disso tem alguma prova mais fácil? > []'sJoão ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
