Em 5 de abril de 2012 20:51, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
> Saiu td cortado,não sei porque,vou fazer de novo
> E já havia erro,sim.
>
>
>
>
> : obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: RE: [obm-l] Desigualdade
> Date: Thu, 5 Apr 2012 23:03:17 +0000
>
>
>
> Por indução
>
> p(1) é verdadeira(1/2 < 1/raiz(2)).
> suponha que [1*3*5...*(2n-1)]/[(2*4*6...*2n)] = p(n) < 1/raiz(2) para
> algum n>1
> Devemos mostrar que p(n+1) =[1*3*5...*(2n-1)*(2n+1)]/[2*4*6...*2n*(2n
> +2)=p(n)[(2n+1)]/(2n+2)] é verdadeira.
> como (2n+1)/(2n+2) = f(n) < 1(e f(n) > 0),então [f(n)]^2 < 1 (1)
> p(n) < 1/raiz(2n),por hipotese,então [p(n)]^2 < 1/2n (2)
> Por (1) e (2),temos que [p(n)]^2*[f(n)]^2 < 1/2n
> Como p(n) > 0 e f(n) > 0,então p(n)*f(n) = p(n+1) < raiz(1/2n)
> Algum erro?
>
> Tem erro sim, pois deveríamos provar que
>
> p(n+1)< raiz [1/(2n+2)] < raiz(1/2n).
>
> Da forma que ficou, poderíamos ter p(n+1) entre os dois radicais, tipo:
> raiz [1/(2n+2)]< p(n+1)< raiz(1/2n).
> ------------------------------
> From: joao_maldona...@hotmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: RE: [obm-l] Desigualdade
> Date: Thu, 5 Apr 2012 16:25:36 -0300
>
> Valeu Rogério,
>
> Estava tentaddo por indução e não saía nada :)
> Solução genial
>
> []'s
> João
>
> ------------------------------
> Date: Thu, 5 Apr 2012 01:27:33 -0300
> Subject: Re: [obm-l] Desigualdade
> From: abrlw...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Ola' Joao,
> a desigualdade vale para qualquer n>0.
>
> Sabemos que para qualquer k:
> (k+1)*(k-1) / (k*k) < 1
>
> Logo, para qualquer n inteiro positivo, temos:
> 1*3 / (2*2) < 1
> 3*5 / (4*4) < 1
> 5*7 / (6*6) < 1
> ...
> (2n-3)*(2n-1) / [(2n-2)*(2n-2)] < 1
>
> Alem disso, como (2n-1) / (2n) < 1
> também podemos escrever que
> (2n-1) / (2n * 2n) < 1 / (2n)
>
> Multiplicando as inequacoes acima, vem:
> { [1*3*5*...*(2n-1)] ^ 2 } / { [2*4*6*...*(2n)] ^2 } < 1/(2n)
>
> FInalmente, aplicando raiz quadrada aos dois lados da expressao, obtemos:
> [1*3*5*...*(2n-1)] / [2*4*6*...*(2n)] < 1 / sqrt(2n)
>
> []'s
> Rogerio Ponce
>
>
> Em 4 de abril de 2012 20:03, João Maldonado
> <joao_maldona...@hotmail.com>escreveu:
>
> Como provar que (1.3.5.7...2n-1)/(2.4.6...2n) <1/sqrt(2n), para o caso
> n=50 (pergunta da minha prova)?
>
> Isso vale para qualquer inteiro maior que 1 ?
>
>
> []s
> Joao
>
>
>
--
Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
Professor de Matemática
Geo João Pessoa – PB
