Problema 2:
Sejam P1(x1, y1), P2(x2, y2), P3(x3, y3).
Hipóteses:
(1) P1, P2 e P3 são não-colineares
(2) xi != xj para i != j
Queremos determinar o número de funções f tais que P1, P2, P3 \in {(x,
f(x)); x \in R} da forma f(x) = ax^2 + bx + c.
Sem perda de generalidade, podemos assumir x1 < x2 < x3, e, também, x1 = y1
= 0 (justificado através da possibilidade de analisar o problema em
qualquer outro sistema de coordenadas que seja um deslocamento do original).
Dessa forma, f(0) = 0 <==> c = 0. Logo, f é da forma f(x) = ax^2 + bx.
Ora,
y2 = f(x2) = a(x2)^2 + b(x2)
y3 = f(x3) = a(x3)^2 + b(x3)
Temos, então, um sistema linear em (a, b), cuja matriz de coeficientes é M
= [[(x2)^2 (x2)]; [(x3)^2 (x3)]].
Ora, det M = (x2)^2 * (x3) - (x3)^2 * (x2) = (x2)(x3)((x2) - (x3)). Pelas
hipóteses, x2 != 0, x3 != 0 e x2 != x3, logo det M != 0, portanto existe
solução e é única. Assim, existe uma, e apenas uma, parábola passando pelos
3 pontos em questão.
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
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e^(pi*i)+1=0
2012/6/25 Luís Lopes <qed_te...@hotmail.com>
> Sauda,c~oes,
>
> Me mandaram os problemas abaixo com o gabarito.
> Que tirei para ver as respostas justificadas de vocês,
> sempre melhores e mais espertas do que as minhas.
>
> Faço isso por 3 razões:
>
> 1) para me ajudarem;
> 2) para dar uma melhor resposta ao Fernando;
> 3) para tirar a lista do silêncio e moviment'a-la
> um pouco.
>
> [ ]'s
> Lu'is
>
>
>
>
> Prezado Luis,
>
>
>
> Gostaria de sua ajuda para as seguintes questões:
>
>
>
> 1)Se dois trinômios do 2º grau possuem as mesmas raízes então:
> a) eles são necessariamente iguais.
> b) eles assumem necessariamente um mínimo ou um máximo no mesmo ponto.
> c) eles diferem por uma constante.
> d) suas concavidades são de mesmo sentido.
> e) nenhuma das anteriores.
> R. letra "a letra d é f'acil de ser eliminada..... hum
>
> a letra a também"
>
>
>
> 2)Dados três pontos no plano cartesiano, não colineares e com abscissas
> distintas duas a duas, o número de funções quadráticas que podem ser
> encontradas de maneira que esses pontos pertençam aos seus gráficos é:
>
> a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
>
> R.letra .....?
>
>
>
