Sendo um número com n algarismos
Podemos chamar de zero de unidade, o zero que aparece nos algarismos da
unidade, zero de dezena, o zero que aparece no algarismo das dezenas...
Zero de unidade:
Temos9.10.10.10.10.10.10.....1 = 9.10^(n-2) (9 possibilidades para o primeiro
dígito, já que não pode ser 0, dez para o segundo, dez para o terceiro, e assim
vai, até que o último tem que ser o próprio zero)
Zero de dezena9.10.10.10.10.10.....1.10 = 9.10^(n-2)
Zero de centena9.10.10.10.10.....1.10.10 = 9.10^(n-2)
E assim vai até o zero no algarismo n-1
logo temos (n-1).9.10^(n-2) zeros em um número com n algarismos
De 1 até 10^n-1 temos
Sum[(x-1).9.10^(x-2), {x, 1, n}]
Sendo S(n) = 0 + 1.9.10º + 2.9.10¹ + 3.9.10² + 4.9.10³ +... +
(n-1).9.10^(n-2)K(n) = 1.10º + 2.10¹ + 3.10² =...(n-1).10^(n-2)K(n+1) = K(n) +
n.10^(n-1)
10K(n+1) = 10K(n) + n.10^nK(n+2) = K(n+1) + (n+1).10^nSubtraindo
K(n+2) = 11K(n+1) - 10K(n) + 10^nLogo 10K(n+1) = 110K( n) - 100K(n-1) +
10^nSubtraindo
K(n+2) = 21K(n+1) - 120K(n) + 100K(n-1)
x³-21x²+120x-100 = 0x = 1, 10 ou 10Logo K(x) = a.1 + (bx + c).10^xSabemos
queK(1) = 0K(2) = 1K(3) = 21
a+10(b+c) = 0a + 100(2b+c) = 1a + 1000(3b+c) = 21
K(x) = 1/81 + (x/90 -1/81).(10^x)S(x) = x.10^(x-1) - (10^x-1)/9
[]'sJoão
[]'sJoão
> Date: Tue, 21 Aug 2012 13:29:21 -0300
> Subject: [obm-l] números
> From: oliho...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Alguém pode me ajudar com a seguinte questão:
>
> Contar o número de zeros que aparecem nos números de 1 a 999...999 (n
> algarismos ).
>
> Obrigado!!!
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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