Olá com as dicas consegui fazer uma boa parte.
Para mostrar que não é um anel de divisão considerei Z = a0 + a1 i + a2 j + a3
k. E considerei z = a0 - a1 i - a2 j - a3 k. Assim Z z = (a0)² +
(a1)² +
(a2)² + (a3)². Assim um elemento Z vai ter inverso multiplicativo se e somente
se (a0)² + (a1)² + (a2)² + (a3)² for diferente de 0. Pois o inverso seria Z^
-1 = z/((a0)² + (a1)² + (a2)² + (a3)²)
Mas pelo teorema de Lagrange todo inteiro pode ser escrito como soma de
quadrados. Assim existem b0, b1, b2, b3 não todos nulos tais que (b0)² + (b1)²
+ (b2)² + (b3)² = p. Portanto (b0)² + (b1)² + (b2)² + (b3)² = 0. Assim Z
= b0 + b1 i + b2 j + b3 não terá inverso e o Anel dos quaternios sobre Zp não
será um anel de divisão.
Mas a parte de que os únicos ideias são o 0 e o próprio A não consegui. Tentei
mostrar que dado um elemento z não nulo no ideal I teremos que sempre 1
pertencerá a I. Mas não está saindo nada, tem que usar algum teorema pesado de
teoria dos números?
Date: Thu, 23 Aug 2012 00:49:40 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questão quaternios difícil
From: hit0...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Olha, é realmente um problema difícil, principalmente por que ele está
escondendo o jogo. Isto faz parte de uma teoria mais geral (central simple
algebras), e se você der uma pesquisada (pesquise também sobre quaternion
algebras), vai encontrar as repostas para o seu problema. Para ser sincero, não
pensei muito sobre esse problema, então vou dar simplesmente uma dica que deve
funcionar (por que eu sei mais ou menos os teoremas gerais).
Por exemplo, para mostrar que ele não é um anel de divisão, você tem que
encontrar um elemento que não tem inverso. Uma das maneiras de caracterizar se
um elemento é invertível ou não é usando a norma (neste caso, a norma de a +bi
+ cj + dk = a^2 + b^2 + c^2+ d^2). Mostrando que a norma é multiplicativa, você
verá que um elemento é invertível se, e somente se, sua norma é não-nula. Minha
dica é: use este critério mais o fato de que a cônica -x^2-y^2=z^2 possui um
zero não trivial em Z/(p) (é claro que você tem que provar isso também, não é
imediato).
2012/8/22 Samuel Wainer <sswai...@hotmail.com>
Vi essa questão e estou sofrendo bastante.
Seja A o anel dos quaternios sobre Zp, p primo.
Provar que A tem p^4 elementos e seus únicos ideais são (0) e A e que A não é
um anel de divisão.
Que tem p^4 elementos consegui tranquilamente. Mas a parte dos ideais está
dando trabalho, e que não é um anel de divisão não consigo pensar em um
contra-exemplo.
Alguém tem alguma ideia?
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Tiago J. Fonseca
http://legauss.blogspot.com
