Nao sei porque esta mensagem nao apareceu na lista.... Estou tentando de
novo, para ver se ganho os R$50.
---------- Forwarded message ----------
From: Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com>
Date: 2012/8/28
Subject: Re: [obm-l] Solução única
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Hmmm.... Veja se voce conhece este fato:
FATO: f(x)=(1+r/x)^x eh uma funcao crescente (para x>=1) que tende para e^r
quando x->+Inf. Ou seja, (1+r/x)^x < e^r sempre que x>=1.
Agora sim!
i) Nao ha solucao com b>a>=3. De fato, escrevendo b=a+r, vem:
a^b-b^a = a^a.(a^r-(1+r/a)^a) > a^a.(a^r-e^r) > a^a.(a-e) > 3^3.(0.2) > 1
onde usei que r>=1 para sumir com r (note que
(a^r-e^r)=(a-e)(a^(r-1)+a^(r-2)+...+e^(r-1)) e este termo imenso eh >=1), e
que a>=3 e que e=2.781828... no finzinho.
ii) Nao ha solucao com 3<=b<a. De fato, escrevendo a=b+r, vem:
a^b-b^a = b^b.((1+r/b)^b-b^r) < b^b.(e^r-b^r) < 0 pois b>e e r>=1.
Como obviamente tambem nao ha solucao com a=b, as unicas possiveis solucoes
tem pelo menos um dos numeros menores do que 3. Agora eh soh analisar os
casos a=1, a=2, b=1 e b=2:
-- Se a=1 entao 1-b=1, nao presta.
-- Se a=2, entao 2^b-b^2=1, isto eh, 2^b=b^2+1. Entao b eh impar, digamos,
b=2k+1, entao 2^b=4k^2+4k+2 nao eh divisivel por 4, entao b=1. De fato
(a,b)=(2,1) serve.
-- Se b=1, entao a-1=1, isto eh, a=2, o que jah vimos acima.
-- Se b=2, entao a^2-2^a=1, isto eh, 2^a=a^2-1=(a+1)(a-1). Entao ambos a-1
e a+1 tem que ser potencias de 2 (cuja diferenca eh 2!), ou seja, a-1=2 e
a+1=4. Assim, a=3.
Cade meus 50 reais? ;)
Abraco,
Ralph
2012/8/28 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com>
> Meu amigo me passou um desafio anteontem, falou que se eu resolvesse até
> ontem a meia-noite, ele me dava 50 reais.
> Acontece que por mais insistente que eu tenha sido não saiu muita coisa :)
>
> A aposta já acabou e ele também não sabe a resolução, e eu quero muito
> saber como se resolve isso!
> Se alguém puder me dar uma ajuda eu agradeço
>
> Prove que a^b - b^a = 1 admite única e exclusivamente a solução (3, 2),
> para a e b naturais maiores de 0.
>
>
> []'s
> João
>
>
