2012/8/30 Samuel Wainer <sswai...@hotmail.com>: > Me pediram um exemplo de uma função que tem integral finita, mas que f^2 não > tem integral finita. > > Fiquei quebrando a cabeça um tempão, mas não consegui. > > Alguém tem alguma ideia?
Tem vários exemplos "clássicos", mas o importante é *como* fazer. Existem dois jeitos de uma integral ser infinita: porque o domínio é grande, ou porque o valor é grande. Refrescando a memória, você deve lembrar que 1/x tem *ambos* problemas. Quando você integra de 1 até infinito, dá infinito (log(M) - log(1) com M -> infinito) e quando você integra de 0 até 1 também (log(1) - log(eps) com eps -> 0). Bom, temos um candidato (se der!) para f^2. Agora, vejamos. Tirando a raiz quadrada de 1/x, quando x -> infinito, isso quer dizer que a função fica MAIOR AINDA! Portanto, a integral com certeza ainda é infinita. Aliás, qualquer função cuja integral dá +infinito sem divergir em algum ponto (isso incluiu os +- infinito), ou é maior do que 1 num intervalo de tamanho infinito (e isso explica porque que dá +infinito a integral) e nesse caso não adianta tirar raiz, vai continuar > 1 ; ou então é menor do que 1, e quando você tira a raiz, fica maior ainda. Assim, nunca vai dar certo "no infinito". Sobrou o caso de ser na parte (0,1). Aqui, como x < 1, temos que 1/x > raiz(1/x) > 1, ou seja, a função DIMINUIU. Isso é muito bom, porque (se você lembra) a 1/x é o "limite" de 1/x^alfa ter integral finita ou não. Agora, basta verificar que realmente 1/raiz(x) é integrável em (0,1). Isso eu deixo pra você conferir (mas a gente acabou de provar que ela NÃO é integrável em (1, infinito), ou seja, ainda falta um pouquinho). A última parte é uma "roubadinha" (ou roubadona, para o pessoal analítico como Cauchy, Euler e amigos): pegue a função raiz(1/|x|) para x entre -1 e 1, e depois "cole" uma função afim qualquer que ligue até o zero, por exemplo subindo de -2 até -1 numa reta, depois seguindo a 1/raiz(x), sobe, vai ao infinito no zero, volta até 1 em x=1, e depois desce numa reta simétrica até o zero em x=2. Pronto, essa função é com certeza integrável, porque é a soma de duas que são, mas o quadrado dela tem uma parte que vai dar infinito. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
