Por isso o enunciado coloca "se duas parábolas,,," Uma maneira de provar, usando GA seria escolher, spg, uma parábola com a diretriz coincidente com Ox, de foco (a,b) e a outra com a diretriz coinicidindo com Oy e foco (c,d), sendo (x,y) qualquer dos quatro pontos de intersecção (claro que os focos são tais que a mencionada condição ocorra).
Usando a condição de definição (mesma distância ao foco e à diretriz) para a a primeira parábola, temos y^2 = (x-a)^2+(y-b)^2 => x^2 - 2.a.x - 2.b.y = - b^2 - a^2 (I) e para a segunda x^2= (x-c)^2+(y-d)^2 => y^2 -2.d.y - 2.c.x = - c^2 - d^2 (II) Somando membro a membro, (I) + (II) [x - (a+c)]^2 - (a+c)^2 + [y - (b+d)]^2 - (b+d)^2 = - b^2 - a^2 - c^2 - d^2 ou [x - (a+c)]^2 + [y - (b+d)]^2 = 2(a.c+b.d) que relaciona claramente a posição dos focos com o raio e o centro da circunferencia. --- Em dom, 2/9/12, Marcelo de Moura Costa <mat.mo...@gmail.com> escreveu: De: Marcelo de Moura Costa <mat.mo...@gmail.com> Assunto: [obm-l] Ajuda e orientações Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 2 de Setembro de 2012, 17:27 Foi-me apresentado o seguinte problema: Mostre que se duas parábolas, com retas focais perpendiculares entre si, se intersectam em quatro pontos, então estes pontos pertencem a um círculo. O problema começa em que o fato das retas focais serem perpendiculares não garante que haverá 4 pontos de intersecção entre as parábolas, é necessário pelo menos que os focos de ambas encontrem-se no mesmo quadrante formado pelas perpendiculares e a uma determinada distância. Ou eu estou enganado? Gostaria muito de uma orientação quanto a esse problema.
