Em primeiro lugar, analise o triangulo de Pascal modulo 2. Fica algo assim:
1
11
101
1111
10001
110011
1010101
11111111
Entao, provar que a linha 2^n-1 eh toda impar, isto eh, 1111111...1,
eh o mesmo que provar que a linha 2^n eh do tipo 100000...0001.
Agora, o terence tinha provado isso numa mensagem anterior. Era algo assim:
i) Tomando coeficientes modulo 2, tem-se (z+1)^2=z^2+1. Entao
(x+1)^4=(x^2+1)^2=x^4+1, e (x+1)^8=(x^4+1)^2=x^8+1, etc. Em suma,
(x+1)^(2^p)=x^(2^p)+1. Entao quando n=2^p, a linha eh 100000...0001 e
a linha n+1 eh 11111...111.
ii) Por outro lado, seja n um inteiro qualquer nao potencia de 2.
Escreva-o em base 2, assim: n=p1+p2+...+pn onde os p1<p2<...<pn sao
potencias de 2 (havera pelo menos duas delas). Entao, coeficientes mod
2:
Q(x)=(x+1)^n=(x+1)^p1.(x+1)^p2...(x+1)^pn=(x^p1+1).(x^p2+1)...(x^pn+1)
Abrindo isto, havera varios coeficientes impares alem do de
x^(p1+p2+...+pn)=x^n e do 1 -- por exemplo, o coeficiente de
x^(p1+p2), que eh impar e nao "cancela" com ninguem. Entao se n nao eh
potencia de 2, a linha n nao eh 10000....00001, e portanto a linha n+1
nao eh 111111...111.
De fato, note que TODOS os monomios que aparecem quando voce abre Q(x)
sao distintos (os expoentes de x sao somas de potencias distintas de
2, e o unico jeito de duas somas darem o mesmo numero eh se a LISTA de
potencias for a mesma!). Entao o que o Terence provou eh que:
"O numero de coeficientes impares em (a+b)^n eh 2^d onde d eh o numero
de digitos 1 quando voce escreve n em base 2."
Abraco,
Ralph
2013/1/25 Vanderlei * <vanderma...@gmail.com>:
> Caros amigos, já apareceu na lista, mas não me convenceu. Se alguém tiver
> uma solução, agradeço!
>
> Seja n um inteiro positivo. Demonstrar que todos os coeficientes do
> desenvolvimento do binômio de Newton (a+b)^n são ímpares se, e somente se, n
> é da forma 2^s - 1.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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