Oi Bernardo. De, fato, da forma como enunciei pode não haver mínimo no primeiro intervalo da esquerda. Vamos adicionar a hipótese de que f é limitada inferiormente.
Abraços Artur Costa Steiner Em 30/01/2013, às 22:10, Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardo...@gmail.com> escreveu: > 2013/1/30 Artur Costa Steiner <steinerar...@gmail.com>: >> Eu dei uma prova para isto, mas acho que só vale para funções não negativas. >> >> Seja f uma função definida e contínua no intervalo finito (a, b] tal que sua >> integral imprópria sobre este intervalo exista e seja finita (como f(x) = >> 1/raiz(x) em (0, 1], que, no caso, vai para infinito em 0+). Seja (P_n) uma >> sequência de partições de [a, b] tal que ||P_n|| --> 0 e (S_n) uma sequência >> de somas de Riemann de f sobre [a, b] tal que, em cada intervalo de cada >> P_n, f seja tomada no ponto em que, no dado intervalo, f apresente seu valor >> mínimo (a continuidade de f garante a existência destes pontos). Mostre que >> S_n --> Int (a, b] f(x) dx, integral imprópria. > > Oi Artur, > > o problema é que "f seja tomada no ponto em que, no dado intervalo, f > apresente seu valor mínimo" está mal-definido no intervalo da partição > contendo a extremidade a, se porventura f -> -infinito em x -> a+. > Claro, aposto que isso é irrelevante para a integral, já que, sendo > justamente convergente em a, acho que o "peso" da "cauda" infinita em > a é zero. Assim, talvez o que você quer seja que || P_n || -> 0 e você > começa as somas de Riemann apenas a partir do segundo intervalo. Se o > que eu falei está certo, acho que não precisa considerar que f seja > contínua: basta saber que toda soma de Riemann associada a P_n será > maior do que a associada à função constante por partes e que vale o > ínfimo de f em cada um dos segmentos, excluído o primeiro, que não > entra na história. > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
