Oi Terence, usando os casos 2 e 3, vemos que seria possivel haver ate' 21 avos diferentes. []'s Rogerio Ponce
2013/5/5 terence thirteen <peterdirich...@gmail.com> > Minha ideia era algo como uma indução: provar que só existem três avós (ou > menos). Com quatro fica fácil, e a partir daí, vemos que somos obrigados a > repetir as avós já usadas. > > > Em 28 de abril de 2013 06:07, Rogerio Ponce <abrlw...@gmail.com> escreveu: > >> Ola' pessoal, >> achei conveniente explicar melhor a solucao... >> >> Problema: >> Existem 20 alunos em uma escola. >> Quaisquer dois deles possui uma avo' em comum. >> Prove que pelo menos 14 deles possui uma avo' em comum. >> >> Solucao: >> Seja Antonio um dos 20 alunos. >> Sejam Maria e Nair suas avos. >> Portanto, qualquer outro aluno tem uma avo' Maria, ou Nair, ou Maria e >> Nair simultaneamente. >> >> Assim, podemos encaixar cada aluno em um dos grupos A, B e C, definidos >> da seguinte forma: >> - grupo A: o aluno tem uma avo' Maria, e uma avo' Nair. >> - grupo B: o aluno tem uma avo' Maria, e uma outra avo' que nao e' Nair. >> - grupo C: o aluno tem uma avo' Nair, e uma outra avo' que nao e' Maria. >> >> Dessa forma, Antonio pertence ao grupo A, e existem 4 possibilidades: >> 1) os grupos B e C sao vazios: >> neste caso, tanto Maria quanto Nair sao avos dos 20 alunos. >> >> 2) apenas o grupo C e' vazio: >> neste caso, Maria e' avo' dos 20 alunos. >> >> 3) apenas o grupo B e' vazio: >> neste caso, Nair e' avo' dos 20 alunos. >> >> 4) nenhum grupo e' vazio: >> neste caso, seja Bernardo um aluno do grupo B, e seja Odete a sua outra >> avo' ( aquela que nao e' Nair). >> Acontece que qualquer que seja o aluno "c" do grupo C, "c" e Bernardo >> possuem uma avo' em comum. >> Como uma avo' de "c" e' Nair, a outra, aquela que nao pode ser Maria, tem >> que ser Odete. >> Portanto, todos os alunos do grupo C sao netos de Odete. >> >> Agora, seja Camilo um aluno do grupo C. >> Entao, conforme acabamos de provar, Camilo tem as avos Nair e Odete. >> Acontece que qualquer que seja o aluno "b" do grupo B, "b" e Camilo >> possuem uma avo' em comum. >> Como uma avo' de "b" e' Maria, a outra, aquela que nao pode ser Nair, tem >> que ser Odete. >> Portanto todos os alunos do grupo B sao netos de Odete. >> >> Desse modo, apenas 3 mulheres - Maria, Nair e Odete - sao as unicas avos >> de todos os alunos. >> Como os 20 alunos possuem ao todo 40 avos, uma das 3 mulheres tem que ser >> avo' pelo menos 14 vezes, ou seja, tem que ser avo' de pelo menos 14 alunos >> (principio das casas de pombos). >> >> Assim, examinadas as possibilidades, sempre podemos afirmar que pelo >> menos 14 alunos possuem uma avo' em comum. >> >> []'s >> Rogerio Ponce >> >> > > > -- > /**************************************/ > 神が祝福 > > Torres >
