Camarada Victor, saudações candangas e carrapatonianas, aliás não
existem muitos carrapatos aqui nessa época do ano rsrs, a questão foi a
número 11 da shortlisted da IMO de 1992 , e foi do japão. a resolução é
bem legal no imo compendium. 

Grande abraço!! 

Douglas Oliveira. 

Em
05.08.2013 11:55, Carlos Victor escreveu: 

> Olá João , 
> 
> Esta
questão é de uma olimpíada não brasileira ou de um livro de olimpíadas (
não lembro qual País), mas encontrar os outros ângulos é um trabalho
árduo e há uma estratégia para a sua solução geométrica . A que conheço
( em que o mestre Antonio Luis( Gandhi) me mostrou) é traçar os
simétricos de D e E em relação à BD e CE , respectivamente, sobre BC .
Faça uma análise nos triângulos que surgirão , no sentido de que a
bissetriz interna e externa de um triângulo se encontram num ex-incentro
e, aparecerá um ângulo de 120º que é o mentor da solução, ok ? Vale
apena pensar nessa solução ... 
> 
> Abraços 
> 
> Carlos Victor 
> 
>
Em 5 de agosto de 2013 11:04, Nehab <carlos.ne...@gmail.com> escreveu:
>

>> Ora João!
>> 
>> Nem vem. Você é muito inteligente para odiar
Geometria...
>> Não acho má ideia você estudar um pouquinho disso...
>>
Costumo ter sucesso ensinando essa parte maravilhosa da Matemática para
quem odeia Geometria (hahaha) e gosta de Trigonometria...
>> Veja que o
ângulo A é imediato... Chamando de I o incentro, segue-se:
>> a) No
triângulo BIC, ang(BIC) = 180 - (B/2+C/2) = 90 + A/2
>> b) No triângulo
EID, ang(EID) = 180 - (24 + 18) = 138
>> c) Mas ang(BIC) = ang(EID) e
daí sai A: 90 + A/2 = 138, ou seja, A = 96
>> 
>> Tente completar a
solução...
>> 
>> Grande abraço,
>> Nehab 
>> 
>> On 04/08/2013 23:37,
João Maldonado wrote: 
>> 
>>> Fala professor!
>>> 
>>> Adorei a
resolução, tinha esquecido do 4sen18.cos36 =1 =D 
>>> Na verdade o
problema era de geometria, mas como eu sou péssimo em GP, sempre resolvo
tudo por trigonometria (meu professor fala que eu sou louco)
>>> O
problema era o seguinte: 
>>> Em um triângulo ABC, D e E são os pés das
bissetrizes traçadas dos vértices B e C respectivamente. CED = 24 graus
e BDE = 18 graus, calcule os ângulos do triângulo.
>>> 
>>> De acordo
com o que foi dito os ângulos são 2*36 = 72 graus, 12 graus e 96
graus
>>> 
>>> []'s
>>> João
>>> 
>>> -------------------------
>>>
Date: Sat, 3 Aug 2013 23:16:56 -0300
>>> From:
carlos.ne...@gmail.com
>>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>> Subject: Re:
[obm-l] trigonometria
>>> 
>>> Caramba, João,
>>> Gostei. Espertinho!
Meu raciocínio navegou assim:
>>> 
>>> a) 66 = 36 + 30, então 36 é um
angulo duplamente interessante pro problema.
>>> 
>>> b) O que eu sei
sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois 4sen18.cos36
=1.
>>> Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade
é clássica se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo
de 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses
triângulos o lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi =
(raiz(5) + 1)/2 vezes o lado menor (uma semelhançazinha). Além disso,
esse phi é adorável e é manjada razão áurea.
>>> Dai é fácil você ver
nos triângulos isósceles citados (trace as alturas deles) que sen18 =
1/2phi e cos36 = phi/2. 
>>> Logo, 4sen18.cos36 = 1... 
>>> 
>>> c)
Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito...
>>>

>>> Então, fica assim: 
>>> 
>>> tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 -
2sen18] / cos66
>>> tgx. cos36 = B/C onde 
>>> B = [2sen66cos36 -
4SEN18COS36] e 
>>> C = 2cos66 
>>> Desenvolvendo B, vem:
>>> B = sen30
+ sen102 - 1 = 
>>> B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né)
>>>
B = 2sen36cos66 
>>> Dai tgx.cos36 = B/C = sen36.
>>> Logo, x = 36 (se
não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 + k180)
>>> 
>>>
Abraços
>>> Nehab
>>> 
>>> On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote:

>>> 
>>>> tgx = tg66 - 2sen18/cos66
>>>> Como achar x?
>>> 
>>> -- 
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> 
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