Camarada Victor, saudações candangas e carrapatonianas, aliás não existem muitos carrapatos aqui nessa época do ano rsrs, a questão foi a número 11 da shortlisted da IMO de 1992 , e foi do japão. a resolução é bem legal no imo compendium.
Grande abraço!! Douglas Oliveira. Em 05.08.2013 11:55, Carlos Victor escreveu: > Olá João , > > Esta questão é de uma olimpíada não brasileira ou de um livro de olimpíadas ( não lembro qual País), mas encontrar os outros ângulos é um trabalho árduo e há uma estratégia para a sua solução geométrica . A que conheço ( em que o mestre Antonio Luis( Gandhi) me mostrou) é traçar os simétricos de D e E em relação à BD e CE , respectivamente, sobre BC . Faça uma análise nos triângulos que surgirão , no sentido de que a bissetriz interna e externa de um triângulo se encontram num ex-incentro e, aparecerá um ângulo de 120º que é o mentor da solução, ok ? Vale apena pensar nessa solução ... > > Abraços > > Carlos Victor > > Em 5 de agosto de 2013 11:04, Nehab <carlos.ne...@gmail.com> escreveu: > >> Ora João! >> >> Nem vem. Você é muito inteligente para odiar Geometria... >> Não acho má ideia você estudar um pouquinho disso... >> Costumo ter sucesso ensinando essa parte maravilhosa da Matemática para quem odeia Geometria (hahaha) e gosta de Trigonometria... >> Veja que o ângulo A é imediato... Chamando de I o incentro, segue-se: >> a) No triângulo BIC, ang(BIC) = 180 - (B/2+C/2) = 90 + A/2 >> b) No triângulo EID, ang(EID) = 180 - (24 + 18) = 138 >> c) Mas ang(BIC) = ang(EID) e daí sai A: 90 + A/2 = 138, ou seja, A = 96 >> >> Tente completar a solução... >> >> Grande abraço, >> Nehab >> >> On 04/08/2013 23:37, João Maldonado wrote: >> >>> Fala professor! >>> >>> Adorei a resolução, tinha esquecido do 4sen18.cos36 =1 =D >>> Na verdade o problema era de geometria, mas como eu sou péssimo em GP, sempre resolvo tudo por trigonometria (meu professor fala que eu sou louco) >>> O problema era o seguinte: >>> Em um triângulo ABC, D e E são os pés das bissetrizes traçadas dos vértices B e C respectivamente. CED = 24 graus e BDE = 18 graus, calcule os ângulos do triângulo. >>> >>> De acordo com o que foi dito os ângulos são 2*36 = 72 graus, 12 graus e 96 graus >>> >>> []'s >>> João >>> >>> ------------------------- >>> Date: Sat, 3 Aug 2013 23:16:56 -0300 >>> From: carlos.ne...@gmail.com >>> To: obm-l@mat.puc-rio.br >>> Subject: Re: [obm-l] trigonometria >>> >>> Caramba, João, >>> Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim: >>> >>> a) 66 = 36 + 30, então 36 é um angulo duplamente interessante pro problema. >>> >>> b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois 4sen18.cos36 =1. >>> Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é clássica se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo de 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o lado menor (uma semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é manjada razão áurea. >>> Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2. >>> Logo, 4sen18.cos36 = 1... >>> >>> c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito... >>> >>> Então, fica assim: >>> >>> tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66 >>> tgx. cos36 = B/C onde >>> B = [2sen66cos36 - 4SEN18COS36] e >>> C = 2cos66 >>> Desenvolvendo B, vem: >>> B = sen30 + sen102 - 1 = >>> B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né) >>> B = 2sen36cos66 >>> Dai tgx.cos36 = B/C = sen36. >>> Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 + k180) >>> >>> Abraços >>> Nehab >>> >>> On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote: >>> >>>> tgx = tg66 - 2sen18/cos66 >>>> Como achar x? >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
