Usando MA>=MG, voce mostra que **=x1/x2+x2/x3+...+x(n-1)/xn+xn/x1 >= n para
quaisquer x1,x2,...,xn>0.
Suponha b=T/n. Entao divida a integral em n pedaços, com intervalos 0 a b,
b a 2b, ..., (n-1)b a b. Coloque todas no intervalo 0 a b (tomando y=x na
primeira, y=x-b na segunda, etc.), e voce vai ficar com uma integral de 0 a
b cujo integrando tem a cara de ** acima (onde x1=f(x), x2=f(x+b),...etc.).
Entao a integral é maior ou igual que Int(0 a b) n dx=nb=T.
E se b não for dessa forma? Bom, se for b=mT/n com m e n inteiros voce pode
fazer o mesmo truque integrando de 0 a mT=nb (que são m cópias da integral
original, pois f é periódica de período T)... Você vai acabar mostrando que
m*(Integral original) >= nb=mT usando o mesmo tipo de raciocínio.
Enfim, como a sua integral depende continuamente de b, e a gente acabou de
mostrar que ela vale >=T em todos os b múltiplos racionais de T (que é
denso em R)... acabou.
Abraço,
Ralph
2013/9/16 Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardo...@gmail.com>
> 2013/9/16 Francisco Lage <franciscou...@gmail.com>:
> > Alguém pode me ajudar?
> >
> > Seja F : R -> R*+ , uma função continua e periódica de período T , prove
> que
> > (1/T)*inegral(f(x)/f(x+b))dx de 0 até 1 é maior ou igual a T , para todo
> b
> > real
>
> Isso tá meio errado... se f(x) = 1 para todo x, então a integral dá
> 1/T... Não seria "1/T * (integral de 0 até T) >= 1" ?
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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