2013/11/20 PeterDirichlet <peterdirich...@gmail.com> > > On 20-10-2013 16:28, marcone augusto araújo borges wrote: > > Quantas matrizes 4 x 4 formadas pelos elementos 1,2,3 e 4 possuem > em cada linha e em cada coluna todos elementos distintos? > > > Vou testar uma ideia. > > Sabemos que, se trocarmos 1,2,3,4 por qualquer permutação deles, de forma > consistente, obtemos outra matriz que satisfaz o enunciado. > > Por exemplo: > > 1 2 3 4 > 2 1 4 3 > 3 4 1 2 > 4 3 2 1 > > Substitua 1 por 3 e 3 por 1, mantendo o 2 e o 4: > > 3 2 1 4 > 2 3 4 1 > 1 4 3 2 > 4 1 2 3 > > Quando é que duas dessas matrizes seriam iguais? Nunca, pois a primeira linha > já seria diferente. Assim, de uma matriz obteremos outras 4! matrizes. > > Assim sendo, eu vou tacitamente aceitar que a primeira linha é '1 2 3 4', e > depois multiplicar por 4!. > > Mais uma coisa interessante é que podemos permutar as linhas entre si! Veja a > segunda matriz: > > 1 2 3 4 > 3 4 1 2 > 4 3 2 1 > 2 1 4 3 > > É óbvio conferir que no caso geral a propriedade se manterá. > > Assim, eu posso pensar que a 'borla' da matriz é assim: > > 1 2 3 4 > 2 x x x > 3 x x x > 4 x x x > > Basta depois multiplicar por 4! * 3!. > > Daqui para diante, me parece que complica um pouquinho... > > MAS eu não desconfiaria se a resposta não tiver a ver com permutações > cíclicas, no seguinte sentido: > cada linha é permutação cícilca da primeira.
As quatro matrizes satisfazendo todas as condições (únicos elementos, fixar os bordos) são: 1 2 3 4 2 1 4 3 3 4 1 2 4 3 2 1 1 2 3 4 2 1 4 3 3 4 2 1 4 3 1 2 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 1 2 3 4 2 4 1 3 3 1 4 2 4 3 2 1 Eu vou tentar "escovar" o programa para o caso 5x5, por enquanto ele calcularia 5 ^ 16 casos... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
