Eu entendi que x não é necessariamente inteiro, mas a expressão tem que ser
inteira (aliás, um inteiro positivo-ou-nulo, pois é raiz de um troço).
Então escrevi algo assim
(x^2+1000x)^(1/2)-x = n^2 (onde n pode ser a princípio 0,1,2,3,...)
então
(x^2+1000x) = (x+n^2)^2
então
1000x=2xn^2+n^4
então
x = n^4 / (1000-2n^2)
Bom, mas não é bem isso não, pois vê-se que x+n^2 tinha que ser >= 0... O
caso n=0 dá x=0 que não ajuda nem atrapalha a soma, então vou supor logo
que n é positivo e então:
x+n^2 >=0
sse
n^4 / (1000-2n^2) + n^2 >=0
sse
n^2 (1000 - n^2) / (1000-2n^2) >=0
Esta desigualdade implica em n<raiz(500)=10raiz(5)=22.36... ou
n>raiz(1000)=10raiz(10)=31.6.... Em suma, n só pode assumir os seguintes
valores:
{0,1,2,..., 22} ou {32,33,34,...}
Agora, enfim, com estas condições, tanto x+n^2 quando n são positivos,
então a equação original
((x^2+1000x)^(1/2)-x)^(1/2)=n
é realmente equivalente a
x = n^4 / (1000-2n^2)
o que pode ser confirmando revertendo os passos da dedução original lá em
cima (os "então" viram "sse").
O que você quer agora é achar a soma:
SOMATÓRIO (n^4 / (1000-2n^2)) onde n varia de 0 a 22, e depois de 32 a
Infinito.
Mas essa soma diverge, pois o termo geral não vai para zero!
---///---
Se o enunciado limitar x a ser POSITIVO, então devemos ter 2n^2<1000, isto
é, ficam apenas os números de 0 a 22. Então a resposta seria:
SOMATÓRIO (n=0 a 22) (n^4 / (1000-2n^2))
Eu tinha esperança de abrir em frações parciais e achar uma soma
telescópica, mas
n^4 / (1000-2n^2) = -n^2/2 - 250 -125000 / (n^2-500)
Os dois primeiros termos são fáceis de somar de 0 a 22, mas o último não
fica telescópico não!
---///---
Enfim, se x tiver que ser INTEIRO, então n^2-500 tem que ser divisor de
125000. Argh, sai, mas é horrendo.
Abraço,
Ralph
2014-03-12 12:53 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com>:
> 2014-03-11 23:11 GMT-03:00 <douglas.olive...@grupoolimpo.com.br>:
> > Olá , boa noite a todos os amigos da lista, recebi recentemente um
> problema
> > abaixo.
> >
> > Determinar a soma de todos os valores de x tais que
> > ((x^2+1000x)^(1/2)-x)^(1/2) seja inteiro.
>
> x é inteiro?
>
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
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> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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