Sobre funções periódicas, uma curiosidade que eu gosto muito é a seguinte:
Um "período" de uma função f:R->R é qualquer número real positivo T
tal que a função f(x) é idêntica à função f(x-T). O "período
fundamental" de uma função f:R->R é definido com o menor período da
função. Funções não periódicas obviamente não possuem período
fundamental. Mas mesmo funções não periódicas podem não ter um período
fundamental. Por exemplo, a função indicadora dos números racionais
(que vale 1 nos racionais e 0 nos irracionais) admite qualquer número
racional como período, mas não existe um menor racional positivo.
A curiosidade é que basta que a função seja contínua em pelo menos um
único ponto para garantir que existe um período fundamental! (ou então
que a função é constante, que é o caso chato)
2014-04-28 9:53 GMT-03:00 Artur Costa Steiner <steinerar...@gmail.com>:
> É bem simples.
>
> Como f é simétrica com relação aos eixo x = a e x = b, temos, para todo x,
> que
>
> f(a + x) = f(a - x)
> f(b + x) = f(b -x)
>
> Segue-se então que, para todo x,
>
> f(x) = f(a + x - a) = f(a - (x - a)) = f(2a - x) e, analogamente,
> f(x) = f(2b - x)
>
> Então, para todo x,
>
> f(x) = f(2(a + b - a ) - x) = f(2a - (2a - 2b + x)) = f(2(a - b) + x)
>
> Como a - b não é nulo, f é periódica e 2|a - b| é um de seus períodos.
>
> E outra, nesta linha ( não muito conhecida),
>
> Sabia você, amigo da lista, que, para todo inteiro positivo não pertencente
> a {1, 2, 4} as soluções reais da equação x^n = n^x são transcendentes? Se n
> = 2 ou 4, as soluções negativas são transcendentes.
>
> Abraços
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em 27/04/2014, às 23:23, Jeferson Almir <jefersonram...@gmail.com> escreveu:
>
> Caro Artur eu soube agora :) como podemos provar isto???
>
>
> Em 3 de março de 2013 01:51, Artur Costa Steiner <steinerar...@gmail.com>
> escreveu:
>>
>> Esta é uma curiosidade mesmo. Faz lembrar um programa de rádio dos anos
>> 60 que começava assim "Sabia você amigo ouvinte..." E aà vinha algo muito
>> interessante como o rei Louis XV gostava de laranja.
>>
>> Bom, sabia vc, amigo da lista, que, se o gráfico de f de R em R for
>> simétrico com relação a 2 eixos verticais distintos, então f é
>> periódica? Eu não sabia, descobri há alguns dias. Se os eixos forem x = a
>> e x = b, então 2 |b - a| é um perÃodo.
>>
>> Abraços.
>>
>> Artur Costa Steiner
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e
>> Â acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =========================================================================
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =========================================================================
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> acredita-se estar livre de perigo.
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> acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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