Teoreminha: Se x=k.pi com k racional e 2cos(x) eh racional, entao 2cos(x)
eh inteiro.
(Consequencia: os unicos valores do tipo que voce falou sao -1, -1/2, 0,
1/2 e 1. Tah, voce falou do sinx, mas como cos(x)=sin(pi/2-x), dah no
mesmo.)
Demonstracao: Suponha 2cosx=a/b com a e b inteiros primos entre si e |b|>1.
Entao 2cos(2x)=4(cosx)^2-2=(a^2-2b^2)/b^2 tambem eh racional. Alias, esta
fracao tambem eh irredutivel, pois a e b sao primos entre si, e nao eh
zero, pois raiz(2) eh irracional.
Entao a sequencia 2cosx, 2cos2x, 2cos4x, 2cos8x, etc. terah infinitos
numeros racionais, todos distintos (olha aquele denominador elevado ao
quadrado, portanto aumentando, cada vez que eu dobro o angulo!). Mas isso
eh absurdo, pois se x=pi.p/q, todos aqueles angulos sao da forma pi.n/q com
n e q inteiros, e (exceto congruencia) soh ha 2q angulos deste tipo, a
saber, {0,pi/q,2pi/q,3pi/q,...(2q-1)pi/q)}.
Abraco, Ralph.
2014-05-03 15:56 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com>:
> Ola amigos , estive pensando em sala de aula recentemente, em relação aos
> ângulos do primeiro quadrante e o valores de seus senos, como por exemplo,
> o sen(pi/6)=1/2,
> ai me veio a seguinte duvida, se existem outros ângulos da forma k(pi) com
> k racional que possuem senos racionais bonitinhos entre zero e um, sem ser
> o de 30 graus, e se não como poderíamos provar isso.
> Obs. Ainda nao tive tempo de pensar, mas gostaria de compartilhar a ideia
> com o grupo.
>
> Abs do Douglas Oliveira.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
