2014-05-05 22:04 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz <vanderma...@gmail.com>: > Como determinar as soluções reais do seguinte sistema? > > x^3 - 3x = y > y^3 - 3y = z > z^3 - 3z = x
Por substituição. A primeira dá y em função de x, a segunda dá z em função de y (logo de x), o que dá uma equação de grau 27 (se não errei as contas) para x. Ache as 27 soluções e, se x for real, as equações acima dão que y e z também serão reais. Moleza! (Se você tem um computador ou o Wolfram Alpha). Senão, você pode tentar o critério de raízes racionais para "ver" se tem alguma raíz "fácil". Nesse caso particular, você pode usar a simetria do problema para ajudar. Veja que, se x = y, y = x^3 - 3x = y^3 - 3y = z, ou seja os três são iguais. Daí, você tem que resolver uma equação simples x^3 = 4x <=> x = 0 ou x^2 = 4 <=> x = 0, -2, 2. Isso dá três soluções. Agora, considere a função f(t) = t^3 - 4t, que é crescente para t > 2. Se x > 2, y = x + f(x) > x + f(2) > x. Daí, z = y + f(y) > y + f(2) > y. Enfim, x = z + f(z) > z + f(2) > z > y > x. Absurdo. A mesma coisa vale para x < -2. Daí, basta ver se há raízes para -2 < x < 2, além de x = 0. Eu fiz uns esboços do gráfico de g(t) = t^3 - 3t, parece que há outras soluções, mas não sei como calcular sem usar o polinômio de 27o grau. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
