Acho importante (embora seja meio obvio, mas a gente se esquece) que
mesmo que f não tenha uma primitiva no sentido estrito (não existe F
tal que para todo x, F'(x)=f(x)), a função definida por:
F(x) = integral com t variando de 0 até x de f(t)dt
é, para todos os efeitos, uma "primitiva" de f, pois F'=f em todos os
pontos exceto um (no qual F não é derivável), e além disso F é
contínua.
Isso alivia o "paradoxo" aparente, na minha opinião.
2014-06-04 23:04 GMT-03:00 Artur Costa Steiner <steinerar...@gmail.com>:
> Na realidade, o teorema que vc citou é um caso particular de outro mais
> geral:
>
> f: [a, b] --> R é Riemann integrável no compacto [a, b] se, e somente se, f
> for limitada em [a, b] e contínua em quase to o [a, b]. Isto é, o conjunto
> dos pontos de [a, b] em que f é descontínua tem medida de Lebesgue nula.
> Conjuntos enumeráveis e conjuntos finitos têm medida de Lebesgue nula.
>
> A sua função é integrável em [0, 2]. Para to x em [0,2], um cálculo simples
> mostra que F(x) = Int [0, x] f(t) dt existe em R e é dada por
>
> F(x) = x se x < 1
> F(x) = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1 se 1 <= x <= 2
>
> F é contínua em [0, 2] e, para todo x diferente de 1, F'(x) = f(x). Mas F
> não é diferenciável em 1. Existem F'(1-) = 1 e F'(1+) = 2, que são
> diferentes. Portanto, F'(1) não existe. Logo, f não tem primitiva. Não
> existe nenhuma função cuja derivada seja f em todo o [0, 2].
>
> Não há erro no seu raciocínio. O que acontece é que ser Riemann integrável e
> ter uma primitiva não são condições equivalentes. São conceitos distintos.
>
> Se uma função f apresentar descontinuidade do tipo salto em um intervalo,
> então f não tem primitiva neste intervalo. Mesmo que não seja, como no seu
> caso, uma função do tipo escada, Isto porque derivadas nunca apresentam
> descontinuidades do tipo salto.
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em 04/06/2014, às 21:54, João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com>
> escreveu:
>
> Fala galera, vou ter prova de cálculo sexta e fiquei com uma dúvida de
> integrabilidade. Tem como vocês me darem uma ajuda?
>
> Dada a função f:[0, 2]->R tal que f(x) = {1 se x<1, 2 se x>=1}
> Determine se a função é integrável, e em caso positivo, ache sua primitiva.
>
> Tem um teorema que diz que, se f:[a,b] -> R é contínua exceto num número
> finito de pontos, então f é integrável em [a, b]
> Logo a função f é integrável, pois só é descontínua em x=1.
>
> Tem outro teorema que diz que, se f[a, b] -> R tem descontinuidade tipo
> salto, isto é, existe c pertencente a (a, b) tal que o limite de f(x) quando
> x tende a c+ é diferente do limite de f(x) quando x tente a c-, então f não
> admite primitiva no intervalo [a, b].
> E como no ponto x=1 tem descontinuidade tipo salto, então f(x) não admite
> primitiva em [0, 2]
>
> f(x) seria integrável e não admitiria primitiva, absurdo!
>
> Onde está o erro nessa demonstração?
>
> []'s
> João
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=========================================================================
