Estou pensando em algo com o seguinte espirito (mas tem que examinar todos os detalhes e ver se funciona mesmo)!
1. Suponha que f'(a) NAO EH L. Entao existe alguma sequencia (que, passando uma subsequencia se necessario, pode ser tomada monotona -- vou supor spdg decrescente) z_n -> a (com z_n <>a) tal que lim (f(z_n)-f(a)) / (z_n-a) nao eh L. 2. Se a sequencia dos numeros (f(z_n)-f(a))/(z_n-a) for ilimitada, passe outra sub para que ele o limite dela seja +Inf ou -Inf; se for limitada, ela tem que ter um ponto de acumulacao que nao eh L, entao passe uma subsequencia para que o limite seja um numero A diferente de L. Em suma, neste momento temos uma sequencia z_n->a decrescente tal que lim (f(z_n)-f(a)) / (z_n-a) = A <> L. 3. Ideia: tome y_n=z_n. Agora, para CADA y_n fixo, vamos escolher x_n MUITO PERTO de a, tal que f(x_n) esteja MUITO MUITO PERTO de f(a). Assim, teremos algo do tipo [f(y_n) - f(x_n)]/[y_n-x_n] ~~~ [f(y_n) - f(a)]/[y_n-a] ~~~ A, que estaria **longe** de L. Pronto, isto seria uma contradicao frente aa hipotese dada! Vejamos os detalhes, pelo menos no caso em que A eh finito: vou denotar B_n=[f(y_n) - f(a)]/[y_n-a] e D=|A-L|>0. i) Primeiro passe outra subsequencia de forma a garantir que |B_n - A| < D/4. Isto eh para garantir que este negocio estah realmente longe de L (e eh possivel porque o limite de B_n eh A quando n->Inf, entao eh soh cortar o comeco da sequencia e deixar um rabo conveniente). ii) Agora, para um y_n fixo, note que lim (x->a) (f(y_n) - f(x))/(y_n - x) = B_n. Entao, para x suficientemente proximo de a, temos |(f(y_n)-f(x)) / (y_n-x) - B_n |<D/4. iii) Entao escolha um x_n de cada vez, indutivamente, sempre no intervalo (x_(n-1),a) e satisfazendo (ii) (que simplesmente determinava um intervalo em volta de a onde x_n tinha que estar). iv) Pronto! A sequencia x_n eh crescente, e temos |[f(y_n) - f(x_n)]/[y_n-x_n] - L| > |A-L| - |B_n-A| - |[f(y_n) - f(x_n)]/[y_n-x_n] - B_n| > D - D/4 - D/4 > D/2 e portanto o limite desta fracao ali na esquerda nao serah L, absurdo. (Agora falta fazer um raciocinio analogo no caso em que A=+-Inf! Mas tenho certeza que sai, deve ateh ser mais facil do que esse que eu fiz.) Abraco, Ralph. 2014-07-04 21:35 GMT-03:00 Merryl <sc...@hotmail.com>: > Boa noite amigos > > Obrigada a todos pela ajuda naquele outro problema. > > Gostaria de ajuda com este aqui. Já pensei mas não consegui provar. > > Seja f:I --> R contínua no ponto a do intervalo aberto I. Suponhamos que > para todas sequências (x_n) e (y_n) em I tais que > > (x_n) seja crescente e convirja para a > > (y_n) seja decrescente e convirja para a > > x_n < a < y_n para todo n > > exista um mesmo real L para o qual convirjam os quocientes ((f(y_n) - > f(x_n))/(y_n - x_n)). > > Mostre que f é diferenciável em a e que f'(a) = L > > Eu tentei partir o quociente acima em duas partes, escrevendo-o como > > (f(y_n) - f(a))/(y_n - a) (y_n - a)/(y_n - x_n) - (f(x_n) - f(a))/(x_n - a) > (x_n - a)/(y_n - x_n) > > Mas como a hipótese é que f é só contínua em a, não se assume > diferenciabilidade, isto não permite chegar a f'(a) = L. > > Obrigada > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================