Olá, Pedro, Quando elevamos um número ao quadrado, temos a seguinte tabela mod4: (x, x^2) (0, 0) (1, 1) (2, 0) (3, 1)
Vamos analisar a expressão módulo 4. Assim: a^2 + b^2 == c^2 (mod 4) Temos apenas 3 possibilidades para (a^2, b^2): 1. (0, 0) => c^2 = 0 2. (0, 1) => c^2 = 1 3. (1, 0) => c^2 = 1 4. (1, 1) => c^2 = 2 (impossível) Logo, a^2 ou b^2 sempre são côngruos a 0 (mod4). Isso implica que a ou b são sempre côngruos a 0 ou 2 (mod 4). *Caso 1:* Suponha que nem a nem b são múltiplos de 4. Assim, a == b == 2 (mod 4). Assim, a^2 + b^2 = c^2 == 0 (mod4). Assim, c == 0 ou c == 2 (mod4). Se c == 0(mod4), então c^2 == 0(mod16). Mas, a^2 + b^2 == 8(mod16). Absurdo. Se c == 2(mod4), então c^2 == 4(mod16). Mas, a^2 + b^2 == 8(mod16). Absurdo. Logo, ou a ou b tem que ser múltiplo de 4. *Caso 2:* Suponha que a==2(mod4). Temos que b = 2k+1. Assim: a^2 + b^2 = c^2 == 1(mod4) (4u+2)^2 + (2k+1)^2 = (4v+1)^2 16u^2 + 16u + 4 + 4k^2 + 4k + 1 = 16v^2 + 8v + 1 Analisando mod8, temos: 4 + 4k^2 + 4k + 1 == 1 (mod 8) 4 + 4k^2 + 4k == 0 (mod 8) Dividindo por 4, temos: 1 + k^2 + k == 0 (mod2) 1 + 2k == 0(mod2) 1 == 0(mod2). Absurdo. Logo, a tem que ser múltiplo de 4. *Caso 3:* Análogo ao caso 2, apenas trocando o a com o b. Assim, concluímos que ou a ou b tem que ser múltiplo de 4. Abraços, Salhab 2015-05-25 19:04 GMT-03:00 Pedro Chaves <brped...@hotmail.com>: > Caros colegas, > > Seja (a, b, c)um terno pitagórico, quer dizer: a, b e c são inteiros > positivos e a^2 + b^2 = c^2. > Como provar que a ou b é múltiplo de 4? > > Abraços! > Pedro Chaves > _________________________________________ > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
