Bom dia,
Estou no trabalho, mas vou arriscar a minha primeira resposta no grupo.
Desenvolvi os dois lados da expressao.
(a/b)^2 + (b/c)^2 + (c/a)^2 = 3 + (a/b + b/c + c/a) - (b/a + c/b + a/c)
Como (a/b)^2 >= 1 + a/b - b/a
O mesmo para os demais termos
Fica provado a proposição.
O que acham desse trabalhoso caminho?!?!
Em 10/06/2015 09:00, "Pacini Bores" <pacini.bo...@globo.com> escreveu:
> Ok Mariana.
>
> Abraços
>
> Pacini
>
> Em 9 de junho de 2015 21:11, Mariana Groff <bigolingroff.mari...@gmail.com
> > escreveu:
>
>> Oi Pacini,
>> Fiz do seguinte modo:
>> f (x)=x^2-x+1/x>=1 <=> x^3-x^2+1>=x <=> x^3-x^2-x+1>=0 <=>x^2
>> (x-1)-(x-1)>=0 <=> (x^2-1)(x-1)>=0
>> O que podemos ver que é verdade, analisando ambos os casos: em que x>=1 e
>> o caso em que 0 <x <1.
>> Abraços,
>> Mariana
>> Em 09/06/2015 20:55, "Pacini Bores" <pacini.bo...@globo.com> escreveu:
>>
>>> Oi Mariana,
>>>
>>> Determinei o mínimo da função usando a derivada. Não entendi o seu
>>> caminho, pois a função é
>>>
>>> f(x) = x^2-x+1/x.
>>>
>>> Abraços
>>>
>>> Pacini
>>>
>>> Em 9 de junho de 2015 18:09, Mariana Groff <
>>> bigolingroff.mari...@gmail.com> escreveu:
>>>
>>>> Oi Pacini,
>>>> Compreendi seu raciocínio. Para provar que f(x)>=1, basta analisarmos
>>>> que (x^2-1)(x-1)>=0, o que verifica-se pois se x>=1, o produto é claramente
>>>> não-negativo e se 0<x<1, vemos que, tanto x^2-1 quanto x-1 são negativos,
>>>> tornando o produto positivo, isso?
>>>>
>>>>
>>>> Em 9 de junho de 2015 11:48, Pacini Bores <pacini.bo...@globo.com>
>>>> escreveu:
>>>>
>>>>> Oi Mariana,
>>>>> Observe que provar a desigualdade pedida é equivalente provar que :
>>>>>
>>>>> {(a/b)^2-a/b+b/a} + {(b/c)^2-b/c+c/b} +{(c/a)^2-c/a+a/c} >=3, ok ?
>>>>>
>>>>> Agora façamos o seguinte :
>>>>>
>>>>> Seja f(x)= x^2-x+1/x, verifique que para x>0 o valor mínimo de f é 1.
>>>>>
>>>>> Donde teremos a desigualdade provada.
>>>>>
>>>>> Estou certo pessoal ?
>>>>>
>>>>> Abraços
>>>>>
>>>>> Pacini
>>>>>
>>>>>
>>>>> Em 8 de junho de 2015 20:30, Raphael Aureliano <raphael0...@gmail.com>
>>>>> escreveu:
>>>>>
>>>>>> Ah não, desculpa, errei em Cauchy ...
>>>>>>
>>>>>> Att.
>>>>>> Raphael
>>>>>> Em 08/06/2015 20:27, "Raphael Aureliano" <raphael0...@gmail.com>
>>>>>> escreveu:
>>>>>>
>>>>>>> MA>=MG
>>>>>>> LE=(a/b+b/c+c/a)^2>=(3cbrt(abc/abc))^2 =9
>>>>>>>
>>>>>>> Por Cauchy
>>>>>>> LD=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)<=(sqrt(a/a) +sqrt(b/b)+sqrt(c/c))^2 =9
>>>>>>>
>>>>>>> LE>=9>=LD
>>>>>>> Em 08/06/2015 19:20, "Mariana Groff" <
>>>>>>> bigolingroff.mari...@gmail.com> escreveu:
>>>>>>>
>>>>>>>> Boa Noite,
>>>>>>>>
>>>>>>>> (British Mathematical Olympiad - Round 2 - 2005)
>>>>>>>> Sejam a,b e c reais positivos.
>>>>>>>> Prove que
>>>>>>>>
>>>>>>>> (a/b+b/c+c/a)^2>=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
>>>>>>>>
>>>>>>>> Atenciosamente,
>>>>>>>> Mariana
>>>>>>>>
>>>>>>>> --
>>>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>>>>
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>>>>>> --
>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>>>>>
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>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
