Sauda,c~oes, Obrigado ao Carlos Gomes. Após o envio da mensagem fui ao site da RPM e fiz uma busca por Morgado e coordenadas e encontrei o artigo. Reflexo que já deveria ter adquirido.
A fórmula acabou não sendo útil e fiz os cálculos naturais de retas perpendiculares e interseção de duas delas. Encontrei H=(-1/t, -t) com t = x_A x_B x_C . Não deu muito trabalho. > [AT] > Basicamente, este resultado diz que se três pontos estão em uma > hipérbole então seu ortocentro também estará. Isso. Hipérbole equilátera. Essa parte acabou. E a recíproca ? Segue texto abaixo ==== Et pour poursuivre l'exercice, la question du dimanche soir : la réciproque était-elle correcte ? Si l'orthocentre d'un triangle dont les trois sommets se trouvent sur une hyperbole se trouve aussi sur cette hyperbole, celle-ci est-elle équilatère ? ==== Se os 4 pontos considerados encontram-se numa mesma hipérbole, a hipérbole é equilátera ? Questão mais interessante e talvez mais difícil. http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,415494,415503 Luís ________________________________________ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br <owner-ob...@mat.puc-rio.br> em nome de Anderson Torres <torres.anderson...@gmail.com> Enviado: terça-feira, 23 de fevereiro de 2016 10:11 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] coordenadas do ortocentro Basicamente, este resultado diz que se três pontos estão em uma hipérbole então seu ortocentro também estará. Parece divertido! Dá para pressupor que os três pontos estão num círculo unitário, e quem sabe adaptar um pouco... Em 22 de fevereiro de 2016 17:22, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu: > Boa tarde! > > Não tentei simplificar. Mas considerando que os três pontos não sejam > colineares. > > o triângulo com vértices: A(xa,ya); B(x,b,yb) e C(xc,yc). > > Temos que a reta l(C,Hc), onde Hc é o pé da altura relativa a C, é > perpendicular a l(A,B) e C pertence a reta. > > Logo sua equação é : (xb-xa) x + (yb-ya) y = c1. Como c pertence a reta c1= > (xb-xa) xc + (yb-ya)yc. > > Da mesma forma a reta l(B,Hb), onde Hb é o pé da altura relativa a C, é > perpendicular a l(A,C) e B pertence a reta. > > Logo sua equação é; (xc-xa) x + (yc-ya) y = c2. Como B pertence a reta c2 = > (xc-xa) xb + (yc-ya)yb. > > Como H é l(C,Hc) interseção l(B,Hb) temos que H(xh,yh), onde Xh e yh é a > solução do sistema abaixo: > > (xb-xa) x + (yb-ya) y = (xb-xa) xc + (yb-ya)yc (i) > (xc-xa) x + (yc-ya) y = (xc-xa) xb + (yc-ya)yb.(ii) > > (xc-xa)*(i) - (xb-xa)* (ii) ==> [(xc-xa)*(yb-ya) - (xb-xa)*(yc-ya)]*y = > (xb-xa)*(xc-xa)*(xc-xb) + (xc-xa)*(yb-ya)yc - (xb-xa)*(yc-ya)*yb. > > ==> y = [(xb-xa)*(xc-xa)*(xc-xb) + (xc-xa)*(yb-ya)yc - (xb-xa)*(yc-ya)*yb] / > [(xc-xa)*(yb-ya) - (xb-xa)*(yc-ya)] > > e de forma análoga: > > x = [(yb-ya)*(yc-ya)*(yc-yb) + (yc-ya)*(xb-xa)xc - (yb-ya)*(xc-xa)*xb] / > [(yc-ya)*(xb-xa) - (yb-ya)*(xc-xa)] > > Se os valores não forem literais. Melhor seria uma translação e uma rotação > para que tenhamos três vértices da forma: > > > (0,0) , (x2',0) e (x3',y3'). > > Achar o H nesse sistema de coordenadas e depois efetuar a rotação inversa e > a translação inversa das coordenadas obtidas para H. > > Espero que não tenha errado nada. > > Saudações, > PJMS > > > Em 21 de fevereiro de 2016 15:19, Carlos Gomes <cgomes...@gmail.com> > escreveu: >> >> É na RPM 43 no artigo "Coordenadas para para os Centro do Triângulo" >> >> Se A,B e C são os vértices, H o ortogentro, e a,b e c são as medidas dos >> ângulos internos do triângulo, então >> >> H=(A.tga+B.tgb+C.tgc)/(tga+tg+b+tgc) >> >> Cgomes. >> >> >> >> Em 21 de fevereiro de 2016 14:04, Luís <qed_te...@hotmail.com> escreveu: >>> >>> Sauda,c~oes, >>> >>> >>> Sejam os pontos A=(x_A, 1/x_A), B=(x_B, 1/x_B) e C=(x_C, 1/x_C) >>> >>> vértices do triângulo ABC. Então H=(x_H, 1/x_H). >>> >>> >>> Encontrei a prova deste resultado em diversos sites. >>> >>> >>> Há algum (muito) tempo o Morgado publicou um artigo numa RPM >>> >>> dando as coordenadas dos centros notáveis do triângulo. >>> >>> >>> Alguém sabe qual o volume ? E quais são as coordenadas do ortocentro ? >>> >>> >>> Obrigado. >>> >>> >>> Luís >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ========================================================================= -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
