Para a soma de n números naturais ser par essa sequência deve possuir um
número par de números impares. Logo, se está se somando de 1 a n e a soma é
par para n = 2k - 1 ou n = 2k onde k é multiplo de 2( se k for impar
teremos um número impar de números impares na soma).
O caso em que n=2k é trivial, pode-se pegar os extremos da soma e colocar
em um subgrupo, os próximos extremos colocar no outro subgrupo e repetir
essa ação k/2 vezes( lembre-se que k é multiplo de 2, então podemos fazer
isso).
Para n = 2k - 1 primeiro olhe para k = 2, claramente podemos separar nos
subgrupos {1,2} e {3} que possuem a mesma soma.
Agora suponha que vale para k = j, vamos provar que vale para k = n + 2 por
indução.
A soma para n = 2( k + 2 ) + 1 é igual a soma para n = 2k( que vamos chamar
de S(n) ) mais quatro termos consecutivos ( n+1, n+2, n+3, n+4). S(n) já
sabemos dividir em subgrupos de igual soma por hipótese. Além
disso, podemos alocar os termos faltantes usando a mesma estratégia usada
para o caso n=2k( os termos n+1 e n+4 vão para um subgrupo e os termos n+2
e n+3 vão para o outro). Logo, se vale para k = j vale k = j + 2. Como vale
para k = 2 vale para todo multiplo de 2.
Como já provamos para os dois casos em que separamos isso conclui nossa
prova :)
Desculpe se ficou mau escrito, digitei conforme fui pensando
On Saturday, 8 July 2017, Vanderlei Nemitz <vanderma...@gmail.com> wrote:
> Bom dia!
> Gostaria de saber se alguém tem uma solução para esse problema:
>
> *Mostre que se a soma dos números de 1 até n é par, então é possível
> separar os números de 1 até n em dois subgrupos de números de igual soma.*
>
> Muito obrigado!
>
> Vanderlei
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
