Se f for uniformemente contínua, podemos escolher d > 0 tal que |f(w) - f(z)| < 1 para todos w e z com |w - z| < d. Fixando-se arbitrariamente z e definindo-se g(w) = f(w) - f(z), obtemos uma função inteira e limitada por 1 no disco fechado de raio d e centro em z. Pelas estimativas de Cauchy, temos então que |g’(z| <= 1/d, o que, pela definição de g, leva a que |f’(z)| <= 1/d. Como z é arbitrário e d independe de z, concluímos que f’ é limitada (por 1/d) em todo o plano complexo.
Como derivadas de funções inteiras são inteiras, segue-se do teorema de Liouville que f’ é constante, o que, por sua vez, implica que f seja um mapeamento afim. Artur Enviado do meu iPad Em 29 de mar de 2018, à(s) 10:03 PM, Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardo...@gmail.com> escreveu: > 2018-03-29 21:17 GMT-03:00 Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com>: >> A função pode ser expressa como uma série de Taylor centrada na origem e >> que >> converge em todo o plano (pois é inteira, ou seja, não possui >> singularidades >> exceto possivelmente no infinito). >> >> Assim, f(z) = a_0 + a_1*z + a_2*z^2 + ... >> >> Mas se algum dos a_k é não-nulo para k > 1, f não poderá ser >> uniformemente >> contÃnua. Logo, f(z) = a_0 + a_1*z. > > Hum, e porque, exatamente? Acho que você gostaria de dizer que a > derivada não pode ficar limitada, e por isso f não seria uniformemente > contÃnua. Mas não é imediato que "algum a_k != 0" implique que a > derivada é ilimitada em alguma sequência... afinal, os outros termos > poderiam (poderiam...) compensar, e note que você tem infinitos termos > para te ajudar a compensar... > > Acho que não dá para evitar os teoremas "pesados"... > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
