C=2S/3AB. Kkkk errei só essa continha Em ter, 22 de mai de 2018 12:31, Otávio Araújo <otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
> Esse final é facil: dado que a area de cada triângulo é fixa igual a S/3 > estão a distancia de P ao lado AB é fixo igual a 2S/AB = c, temos que P > pertence a alguma das duas retas paralelas a AB que distam c de AB, na > verdade na única reta que corta o triângulo ABC (chame essa reta de r1). De > modo análogo temos que P pertence a única reta r2 paralela a AC, que dista > b de AC e que corta o triângulo ABC. Daí P é a intercessão entre as retas > r1 e r2, logo único. Como vimos que o baricentro satisfaz essa propriedade, > então P só pode ser o baricentro mesmo. > > Em ter, 22 de mai de 2018 11:40, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> De fato, nem notei isso... >> Mas é sabido (e fica como um problema não muito difícil) que as 3 >> medianas de um triângulo o decompõem em 6 triângulos de mesma área. >> Logo, somando as áreas adequadas, concluímos que o baricentro P é tal que >> as áreas de PAB, PBC e PCA são iguais. >> >> Mas cuidado com a lógica, pois o resultado de que precisamos é o >> recíproco deste: se P é tal que as três áreas são iguais, então P é o >> baricentro. >> Ou seja, é preciso mostrar que não há outros pontos com esta propriedade. >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> 2018-05-22 10:47 GMT-03:00 Matheus Secco <matheusse...@gmail.com>: >> >>> Completando o trabalho do Claudio, não é dificil mostrar que P deve >>> então ser o baricentro. >>> >>> Em Ter, 22 de mai de 2018 10:37, Claudio Buffara < >>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >>> >>>> Sejam x, y, z as distâncias do ponto P, interior ao triângulo ABC, de >>>> área S, aos lados BC (medida = a), AC (medida = b) e AB (medida = c). >>>> >>>> Sabemos que ax + by + cz = 2S = constante. >>>> >>>> Então, o problema é maximizar xyz dado que ax + by + cz = 2S. >>>> >>>> Pela desigualdade MG <= MA aplicada aos números positivos ax, by e cz, >>>> temos que: >>>> ax * by * cz <= ((ax + by + cz)/3)^3 ==> >>>> abc*xyz <= (2S/3)^3 ==> >>>> xyz <= (2S/3)^3/(abc), com igualdade sss ax = by = cz = 2S/3. >>>> >>>> Assim, o ponto P que maximiza o produto xyz é tal que as áreas dos >>>> triângulos PAB, PBC e PCA são iguais. >>>> >>>> []s, >>>> Claudio. >>>> >>>> >>>> 2018-05-22 8:39 GMT-03:00 luciano rodrigues <lucianorsl...@gmail.com>: >>>> >>>>> Encontre o ponto dentro de um triângulo tal que o produto das >>>>> distâncias dos lados desse triângulo ao ponto seja máximo. >>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>> >>>>> >>>>> >>>>> ========================================================================= >>>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>>>> >>>>> ========================================================================= >>>>> >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
