2018-08-14 17:03 GMT-03:00 Artur Steiner <artur.costa.stei...@gmail.com>: > Suponhamos que f: [0, 1] ---> R seja contínua e que, para todo n = 0, 1, > 2......, Integral [0, 1] f(x) x^n dx = 0. Mostre que f é identicamente nula. > > Isso parece um tanto intuitivo, mas será que há uma prova imediata ou quase?
Não sei exatamente o que você espera. A demonstração "abstrata" é que a sua condição diz que f é ortogonal aos polinômios no intervalo [0,1] (usando a métrica <f,g> = int f(x)g(x) dx). Mas daí f também é ortogonal ao limite uniforme de polinômios: basta tomar o limite P_n -> g e multiplicar por f; sendo contínua, a convergência f*P_n -> f*g também é uniforme, e portanto 0 = int(f*P_n) -> int(f*g). Como os polinômios são densos nas funções contínuas, isso mostra que f é ortogonal a qualquer função g. Em particular, ela é ortogonal a ela mesma, e portanto f = 0. Tendo feito isso, dá para simplificar um pouco a demonstração. Por exemplo, basta aproximar f = lim P_n (limite uniforme de polinômios) e calcular int f(x)^2 = int f(x)*[f(x) - P(x) + P(x)] = int f(x)*[f(x) - P(x)] + 0. A integral restante é menor (em módulo) do que eps * max(|f|) (já que aproximamos f por P_n com erro uniforme menor do que eps). Tomando n -> infinito, temos que int f(x)^2 -> 0 e daí f deve ser identicamente nula. Tive uma idéia agora de como fazer sem usar que dá para aproximar f por polinômios, mas também aproximando. Acho inevitável aproximar. Tome uma aproximação linear por partes de f. Como f é uniformemente contínua, basta escolher pontos espaçados de delta para garantir um erro uniforme < eps. Agora, mostre que uma função g linear por partes satisfazendo int g(x) x^n = 0 para todo n implica que g == 0. Daí conclua como antes. Dá inclusive para fazer com aproximações *constantes* por partes, o que possivelmente simplifica a demonstração int g(x)x^n =0 => g == 0. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
