Obrigado, Artur. De onde saiu esse problema? []s, Claudio.
2018-08-17 21:08 GMT-03:00 Artur Steiner <artur.costa.stei...@gmail.com>: > OK, aí vai minha solução. > > Antes, uma definição. Diremos que o par (x, y) é um par cíclico da > função g de D em D se (x, y) for um elemento de D^2 tal que g(x) = y e g(y) > = x, com x e y DISTINTOS. Como ordem aqui não importa, vamos acordar que > (x, y) = (y, x). > > Suponhamos que g = f o f para alguma f. Vamos mostrar que g não pode ter > precisamente 1 par cíclico (pode ter mais de 1 ou nenhum, mas nunca > exatamente 1). > > Suponhamos, por absurdo, que g tenha precisamente 1 par cíclico. Então, > f(f(x)) > = y e f(f(y)) = x. Façamos f(x) = u, f(y) = v. Segue-se que f(u) = y => > f(f(u)) = v e, similarmente, f(f(v)) = u. Ou seja, g(u) = v e g(v) = u, > indicando que (u, v) é um par cíclico de g. Como, por hipótese, (x, y) é o > único par cíclico de g, isto nos leva a que u = x e v = y ou a que u = y e > v = x. No 1o caso, chegamos a f(x) = u = x, g(x) = f(x) = u = x. Mas como > g(x) = y, obtemos x = y, contradição. No 2o caso, obtemos f(x) = u = y, > g(x) = f(y) = v = x. Mas como g(x) = y, temos novamente a contradição de > que x = y. > > Se vc continuar indutivamente, vai concluir que ou g tem uma infinidade de > pares cíclicos ou tem um número par dos mesmos. > > No nosso caso, se (x, y) for par cíclico de nosso trinômio do 2o grau g, > então (x, y) é solução do sistema > > ax^2 + bx + c = y > ay^2 + by + c = x > > Observemos que a simetria deste sistema leva sempre a duas soluções, não > necessariamente distintas, da forma (s1, s2) e (s2, s1). Só originarão um > par cíclico se s1 e s2 forem reais distintos. Se s1 = s2, que neste caso > são reais, será gerado um ponto fixo de g, o que não impede a existência de > f. Se não houver solução real, f não tem nenhum par cíclico, o que também > não impede a existência de f (estamos no domínio real). Assim, para que f > possa existir, devemos evitar o caso s1 e s2 reais distintos. > > Sipondo-se x e y distintos, subtraindo as equações temos > > a(x^2 - y^2) + b(x - y) = y - x, que dividida por x - y <> 0 leva a. > > y = -x - (b + 1)/a, lembrando que a <> 0. > > Com alguma álgebra, substituição na 1a equação leva à eq. quadrática em x > > ax^2 + (b+1)x + (b+1)/a + c = 0 > > Para que f possa existir, a hipótese x = y tem que levar a > contradição..Esta ocorrerá se e somente se o delta da quadrática for menor > ou igual a 0. Forçando isto, chegamos s > > (b+1)^2 - 4a((b+1)/a + c) ≤ 0 > => b^2 + 2b + 1 - 4b - 4 - 4ac ≤ 0 > => (b+1) (b-3) ≤ 4ac > > Esta desigualdade é uma condição necessária à existência de f. > > > A complementação do Cláudio é muito interessante. > > > > Artur Costa Steiner > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
