Este é um fato interessante, não muito divulgado. Seja a_n uma sequência de reais, p_n uma sequência de pesos positivos e s_n = (Soma(k = 1, n) a_k p_k)/(Soma(k = 1, n) p_k) a sequência das médias ponderadas de a_n com relação aos pesos p_n. Se Soma(k = 1, oo) p_k divergir, então, nos reais extendidos,
liminf a_n <= liminf s_n <= limsup s_n <= limsup a_n A desigualdade do meio vale é claro para qualquer sequência de reais. Mostrando-se uma das desigualdades das extremidades, a outra fica demonstrada. Concluímos automaticamente que, se a_n tiver limite nos reais extendidos, s_n tem o mesmo limite. Com exceção da desigualdade do meio, nada disso vale se Soma p_n convergir. Artur Costa Steiner -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
