ops... apertei o send por engano... continuando
Obviamente, f(D) está contido em f([0,p]), de modo que fecho(f(D)) está
contido em fecho(f([0,p])) = f([0,p]) = f(fecho(D)).
Resta provar que f([0,p]) está contido em fecho(f(D)).
Dado y em f([0,p]), existe (y_n) em f([0,p]) tal que y_n -> y.
Para cada n, existe x_n em [0,p] tal que y_n = f(x_n).
Passando a uma subsequencia, se necessário, a compacidade de [0,p] implica
que x_n -> x, para algum x em [0,p].
A continuidade de f implica que f(x) = y.
Como D é denso em [0,p], para cada n seja z_n em D tal que z_n pertence a
(x_n - 1/n,x_n + 1/n).
Então z_n -> x e, portanto, f(z_n) -> f(x) = y = limite de uma sequência de
elementos de f(D).
Logo, y pertence a fecho(f(D)).
[]s,
Claudio.
On Sat, Sep 8, 2018 at 12:39 PM Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com>
wrote:
> Acho que a demonstração depende de dois fatos:
> 1) Se p = período fundamental de f e D é um subconjunto de [0,p] denso em
> [0,p], então f(D) é denso em f([0,p]) = imagem de f;
> e
> 2) O conjunto { n + mp | n é natural e m é inteiro} é denso em [0,p].
>
> (2) é consequência (e, se não me engano, foi a aplicação original) do
> princípio das gavetas de Dirichlet, e também é a base da demonstração do
> resultado que eu mencionei há alguns dias: dada qualquer sequência de
> algarismos, existe uma potência de 2 que começa com aquela sequência.
>
> D é denso em [0,p] ==> fecho(D) = [0,p].
> f([0,p]) é compacto, logo fechado.
> A ideia é mostrar fecho(f(D)) = f([0,p]) = f(fecho(D)).
> Obviamente
>
>
>
>
> On Sat, Sep 8, 2018 at 1:47 AM Artur Steiner <
> artur.costa.stei...@gmail.com> wrote:
>
>> Acho isto interessante:
>>
>> Suponhamos que f:R ---> R seja contínua, periódica e tenha período
>> fundamental irracional. Mostre que a sequência (f(n)) é densa no conjunto
>> das imagens de f.
>>
>> Artur Costa Steiner
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
