Inicialmente, sabemos que: A = 1 + C(n,1) + C(n,2) + C(n,3) + ... = 2^n e B = 1 + C(n,2) + C(n,4) + ... = C(n,1) + C(n,3) + C(n,5) + ... (basta expandir (1 + 1)^n e (1 - 1)^n).
Além disso: A - B = C(n,1) + C(n,3) + C(n,5) + ... = B ==> B = A/2 = 2^(n-1) Também temos: (1 + i)^n = 1 + C(n,1)*i - C(n,2) - C(n,3)*i + C(n,4) + ... (1 - i)^n = 1 - C(n,1)*i - C(n,2) + C(n,3)*i + C(n,4) + ... De modo que: C = ((1 + i)^n + (1 - i)^n)/2 = 1 - C(n,2) + C(n,4) - C(n,6) + ... Logo (usando a versão "par" de B): (B + C)/2 = 1 + C(n,4) + C(n,8) + ... = ( 2^(n-1) + ((1 + i)^n + (1 - i)^n)/2 )/2 Ou seja, 1 + C(n,4) + C(n,8) + ... = 2^(n-2) + ((1 + i)^n + (1 - i)^n)/4 (*) Agora... (1 + i)^n + (1 - i)^n = 2^(n/2)*(cis(n*pi/4) + cis(-n*pi/4)) = 2^(1 + n/2)*cos(n*pi/4) ==> ((1 + i)^n + (1 - i)^n)/4 = 2^(n/2 - 1)*cos(n*pi/4) Se n = 4k, então o lado direito é igual a 2^(2k-1)*cos(k*pi) = (-1)^k*2^(2k-1) (**) Substituindo (**) em (*) e usando que n = 4k, teremos: 1 + C(4k,4) + C(4k,8 ) + ... + C(4k,4k) = 2^(4k-2) + (-1)^k*2^(2k-1) = 2^(2k-1) * (2^(2k-1) + (-1)^k) (***) *** Pra (***) ser múltiplo de 81, 2^(2k-1) + (-1)^k terá que ser múltiplo de 81. Em particular, terá que ser múltiplo de 3. k = 1 ==> 2^1 - 1 = 1 k = 2 ==> 2^3 + 1 = 9 k = 3 ==> 2^5 - 1 = 31 k = 4 ==> 2^7 + 1 = 129 .. Assim, parece que k = 2m + 2 (m >=0) é condição necessária. E, de fato, k = 2m+2 ==> 2^(2k-1) + (-1)^k = 2^(4m+3) + 1 = 8*16^m + 1 == -1*1 + 1 == 0 (mod 3) ("==" quer dizer "é congruente a") Olhando mod 9, teremos 8*16^m + 1 == (-1)*(-2)^m + 1 == 0 (mod 9) sss (-2)^m == 1 (mod 9). Isso é verdade pra m = 0, 3, 6 e 9. Assim, conjecturo que para m = 3p (p>=0) e, portanto, k = 6p + 2 (p >= 0), 2^(2k-1) + (-1)^k = 2^(12p+3) + 1 é múltiplo de 9. E, de fato, olhando mod 9: 2^(12p+3) +1 == 8*4096^p + 1 == (-1)*1 + 1 == 0 (mod 9) Testando a divisibilidade por 81: p = 0 ==> k = 2 ==> 2^3 + 1 ==> não p = 1 ==> k = 8 ==> 2^15 + 1 = 1024*32 + 1 == 52*32 + 1 = 1665 == 45 ==> não p = 2 ==> k = 14 ==> 2^27 + 1 = 1024*1024*128 + 1 == 52*52*47 + 1 == (-29)*(-29)*(-34) + 1 == 31*(-34) + 1 = -1053 == 0 (mod 81). Logo, o menor k é 14. Agora, como é uma múltipla escolha, daria pra ir testando as alternativas na expressão (***). Acho que levaria menos tempo. []s, Claudio. On Wed, Nov 7, 2018 at 2:38 PM Vanderlei Nemitz <vanderma...@gmail.com> wrote: > Boa tarde! > Na seguinte questão, tentei pensar no desenvolvimento de algum binômio, em > que a parte real fosse a soma S(k), mas não consegui imaginar um. Fazendo > alguns casos, para k de 1 a 4, conjecturei que S(k) = 2^(2k - 1).[2^(2k - > 1) + (-1)^k]. > Mas como posso provar que é verdadeira (se realmente for), a partir do > zero, de preferência sem usar indução? > > Outra coisa, depois de obtida a fórmula, como obter o menor k que satisfaz > o problema sem muitas contas? Eu testei até k igual a 14, usando uma > calculadora. > > Obrigado! > > Seja S(k) = C(4k, 0) + C(4k, 4) + C(4k, 8) + ... + C(4k, 4k), para k = 1, > 2, 3, .... > O menor valor de k tal que S(k) é múltiplo de 81, é: > a) 7 > b) 9 > c) 10 > d) 12 > e) 14 > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.