Muito obrigado! Tendo estudado álgebra apenas nos reais eu achava que algumas matrizes não tinham auto valores. Obrigado por esclerecer.
Atenciosamente, Rodrigo de Castro Ângelo Em ter, 19 de fev de 2019 às 09:45, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Toda matriz tem um autovalor. De fato, uma matriz nxn tem n autovalores, > que podem não ser reais e nem todos distintos. > Dá uma olhada nesse artigo aqui: > https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/awards/Axler-Ford-1996.pdf > > []s, > Claudio. > > > On Tue, Feb 19, 2019 at 9:23 AM Rodrigo Ângelo <drigo.ang...@gmail.com> > wrote: > >> Oi, Claudio >> >> Nesse caso, como a gente sabe que A tem um auto valor k? >> >> Atenciosamente, >> Rodrigo de Castro Ângelo >> >> >> Em seg, 18 de fev de 2019 às 22:25, Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> >>> Dada uma matriz qualquer M, vou chamar de M* a conjugada transposta de M >>> (se M for real, M* = transposta de M). >>> Dado um número complexo z, chamarei de z* o conjugado de z. >>> E identificarei números complexos com matrizes 1x1. >>> >>> Seja k um autovalor de A. >>> Então existe uma matriz coluna nx1 não nula X tal que AX = kX ==> X*A* = >>> k*X* >>> X*AX = X*(kX) = kX*X >>> X*A*X = (k*X*)X = k*X*X >>> >>> Somando estas duas equações, obtemos: >>> X*AX + X*A*X = (k+k*)X*X ==> >>> X*(A + A*)X = 2Re(k)X*X ==> >>> X*IX = 2Re(k)X*X ==> >>> X*X = 2Re(k)X*X ==> >>> (1 - 2Re(k))X*X = 0. >>> >>> Como X <> 0, X*X > 0 ==> Re(k) = 1/2. >>> >>> Ou seja, todos os autovalores de A têm parte real = 1/2. >>> Como A é real, o polinômio característico de A tem coeficientes reais >>> ==> >>> os autovalores de A ou são reais (e iguais a 1/2) ou então podem ser >>> particionados em pares da forma 1/2 + ib, 1/2 - ib (b real), cujo produto é >>> 1/4 + b^2 > 0 ==> >>> det(A) = produto dos autovalores de A > 0. >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> >>> >>> >>> On Mon, Feb 18, 2019 at 9:50 PM Vanderlei Nemitz <vanderma...@gmail.com> >>> wrote: >>> >>>> Pessoal, estou pensando na seguinte questão, consegui alguns >>>> resultados, mas nada concreto. Alguém com uma ideia que possa resolver? >>>> >>>> *Seja A uma matriz real n x n tal que A + A^t = I.* >>>> *Prove que detA > 0.* >>>> >>>> A^t é a transposta de A. >>>> >>>> Muito obrigado! >>>> >>>> Vanderlei >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
