Sauda,c~oes, Considere o polinômio
p(x)[h,m,s] = 9x^4 + 12s x^3 + 2(8h^2 - 20m^2 - s^2)x^2 + 4s(4m^2 - s^2)x + (4m^2 - s^2)^2 . Fiz alguns testes para ver se p(x) pode ter suas raízes construtíveis. Esse polinômio aparece na construção do triângulo dados <a+b,h_a,m_b>. 1) h=4sqrt(3); m=sqrt(21); s=13 p(x) = 9x^4 + 156x^3 - 410x^2 - 4420x + 7225 = (x-5)(3x+17)(3x^2 + 50x - 85) 2 positivas e 2 negativas 2) h=4sqrt(3); m=2sqrt(3); s=13 p(x) = 9x^4 + 156x^3 - 50x^2 - 6292x + 14641 = (3x^2 + 26x - 121)^2 1 positiva e 1 negativa raízes duplas 3) h=4sqrt(3); m=(3/2)sqrt(3); s=13 p(x) = 9x^4 + 156x^3 + 160x^2 - 7384x + 20164 = ? (Ax^2 + Bx + C)(Dx^2 + Ex + F) irredutível 4 raízes complexas x_1 = -13/3 - 2 i sqrt(7/3) - 1/2 sqrt(2044/9 + 208/3 i sqrt(7/3)) x_2 = -13/3 + 2 i sqrt(7/3) - 1/2 sqrt(2044/9 - 208/3 i sqrt(7/3)) x_3 = -13/3 - 2 i sqrt(7/3) + 1/2 sqrt(2044/9 + 208/3 i sqrt(7/3)) x_4 = -13/3 + 2 i sqrt(7/3) + 1/2 sqrt(2044/9 - 208/3 i sqrt(7/3)) 4) h=12; m=7; s=13 p(x) = 9x^4 + 156x^3 + 6x^2 + 1404x + 729 = 3 (3x^4 + 52x^3 + 2x^2 + 468x + 243) = (3 x^2 - (8 sqrt(13) - 26) x + 27) (3 x^2 + (26 + 8 sqrt(13)) x + 27) irredutível 2 raízes complexas 2 negativas 5) h=13; m=7; s=13 p(x) = 9x^4 + 156x^3 + 406x^2 + 1404x + 729 = 1/9 (-3 x - 2 i sqrt(39 sqrt(3) - 49) + 6 sqrt(3) - 13) (-3 x + 2 i sqrt(39 sqrt(3) - 49) + 6 sqrt(3) - 13) (3 x - 2 sqrt(49 + 39 sqrt(3)) + 6 sqrt(3) + 13) (3 x + 2 sqrt(49 + 39 sqrt(3)) + 6 sqrt(3) + 13) = 1/9(9 x^2 - 36 sqrt(3) x + 78 x + 81)(9 x^2 + 36 sqrt(3) x + 78 x + 81) irredutível 2 raízes complexas 2 negativas Só testei para h,m,s > 0 mas se não errei nessas contas parece que podemos fatorar p(x)[h,m,s] como 9x^4 + 12s x^3 + 2(8h^2 - 20m^2 - s^2)x^2 + 4s(4m^2 - s^2)x + (4m^2 - s^2)^2 = (Ax^2 + Bx + C)(Dx^2 + Ex + F) com os coeficientes A,B,... F construtíveis. Daria para calcular os coeficientes dos dois polinômios do segundo grau em função de h,m,s ? Luís -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
