Bom dia!
Cláudio,
peço máxima vênia e venho discordar de você.
Se você pegar a soma da PG: 1, 5, 25 ...., que é a quebra do número de
algarismos.
Ou seja a partir de S1=1, temos pelo menos um algarismo no impa
A partir de S2=6 temos pelo menos dois algarismos no impa
A partir de S3= 31 temos pelo menos três algarismos no impa
A partir de Sn=(5^n-1)/4 temos pelo menos n algarismo no impa
Há um padrão de repetição dos algarismos no sistema impa.
AnAn-1...A3A2A1Ao
Quando na posição mais a direita de menor ordem, posição Ao
13579135791357119....
Portanto para definir o ´algarismo Ao. Nota y=[x], significa parte inteira.
Basta pegar ko= n-S1 e fazer xo=ko mod 5 e pegar o resíduo em {0,1,2,3,4}
se Ao= 2xo+1.
Para a posição de A1 a partir de S2=6 temos:
1111133333555557777799999 1111133333555557777799999...
Basta pegar k1= [(n-s2)/5] e fazer x1=k1 mod5 e aplicar A1=2x1+1
Para um algarismo de ordem i
Basta pegar ki=[(n-Si+1)/5^i] e fazer xi= k1 mod5 e Ai=2xi+1.
Mas Si+1 = (1,1,1,...1,1) base 5 com i+1 elementos 1.
então Zi = (n)base 5 - (1,1,1...111)= (BnBn-1...Bi+1BiBi-1...A3A2A1Ao
ki=[Zi/5î] = Bn*5^(n-i)+ Bn-a*5^(n-i-1)+ ....+Bi+1*5+ Bi
Fora o Bi as demais parcelas obrigatoriamente são côngruas de zero mod5.
Então xi=ki mod5=Bi
Aí fica muito fáciL;
Passo 1, define n na base 5
Passo 2 Subtrai o maior número na base 5 formado só por 1111...1 e menor
que n.
Passo 3 Substitui os algarismos encontrados por Ai=2xi+1, até termos tantos
algarismos (da direita para esquerda) quanto os do número que subtraímos
1111...111, inclusive os zeros a esquerda.
E temos o número.
E.g., Como representar 9839962
1o Passo 9839962= (1004334322) base 5
2o passo 1004334322-111111111 base 5 =3343223211
3o passo 7797557533 impa.
Gastei 5 min com conferência.
Para fazer esse número com contagem, fica complicado,
Por exemplo para o número 2017
31032
31032-11111=14421
39953.
Em 1min e 20 s.
Acho que a sugestão de Cauã foi muito boa.
Saudações,
PJMS
Em sex., 8 de nov. de 2019 às 09:08, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
> Uma forma de ver se sua solução está certa é tentar dar outra solução,
> essencialmente diferente da primeira.
>
> A meu ver, a solução mais elementar é por enumeração pura e simples e usa
> apenas o princípio multiplicativo, sem nenhuma "sacada brilhante".
>
> Há 5 números de um algarismo no sistema Impa (1, 3, 5, 7, 9);
> 5^2 = 25 números de dois algarismos;
> 5^3 = 125 de três;
> 5^4 = 625 de quatro.
> Isso significa que 9999, o maior número de quatro algarismos no sistema
> Impa, ocupa o lugar de número 5+25+125+625 = 780 na sequência e, portanto,
> corresponde ao número 780 no sistema decimal.
>
> 5^5 = 3125 > 2017, o que implica que 2017 corresponde a um número Impa de
> cinco algarismos.
> Há 625 números Impa de 5 algarismos começando com 1 (de 11111 a 19999) ==>
> 19999 corresponde a 780+625 = 1405
> Há 625 deles começando com 3 (de 31111 a 39999) ==> 39999 corresponde a
> 1405+780 = 2185.
> Ou seja, o número desejado (correspondente a 2017) começa com "3".
>
> Voltando ao 19999 (correspondente ao nosso 1405) ...
> O número seguinte é 31111 (1406).
> Há:
> - 125 números começando com 31 (de 31111 a 31999): 1405+125 = 1530;
> - 125 começando com 33 (33111 a 33999): 1530+125 = 1655
> - 125 começando com 35: 1655+125 = 1780
> - 125 começando com 37: 1780+125 = 1905
> - 125 começando com 39: 1905+125 = 2030 ==> o número desejado começa com
> "39".
>
> Tomemos, então, o Impa 37999 (correspondente a 1905). O seguinte é o 39111.
> Há:
> - 25 números começando com 391 (39111 a 39199): 1905+25 = 1930
> - 25 começando com 393: 1930+25 = 1955
> - 25 começando com 395: 1955+25 = 1980
> - 25 começando com 397: 1980+25 = 2005 ==> 2005 corresponde ao Impa 39799
> ==> 2006 é 39911
>
> E, por fim, há:
> - 5 números começando com 3991: 2005+5 = 2010
> - 5 começando com 3993: 2010+5 = 2015 ==> 2015 corresponde ao Impa 39939
> ==> 2016 é 39951 ==> 2017 é 39953.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> On Thu, Nov 7, 2019 at 12:36 PM Cauã DSR <cauazinho...@gmail.com> wrote:
>
>>
>> Tenho um pequeno problema, eu fiz o item C) do problema 3 da prova da OBM
>> de 2017, mas não tenho certeza sobre seu resultado, então achei uma boa
>> fazer minha primeira aparição no grupo perguntando se o que fiz está certo.
>>
>> 3. Na Terra dos Impas, somente os algarismos ímpares são utilizados para
>> contar e escrever números. Assim, em vez dos numeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
>> 8, 9, 10, 11, 12,. . . os Impas tem os números correspondentes 1, 3, 5, 7,
>> 9, 11, 13, 15, 17, 19, 31, 33, . . . (note que os números dos Impas tem
>> somente algarismos ímpares). Por exemplo, se
>> uma criança tem 11 anos, os Impas diriam que ela tem 31 anos.
>>
>> c) Escreva, na linguagem dos Impas, o numero que na nossa representação
>> decimal é escrito como 2017.
>>
>> Minha solução:
>> Como no problema só temos Ímpares para usar como algarismo {1,3,5,7,9},
>> temos um sistema de numeração de base 5, porém com os algarismos ímpares ao
>> invés da base 5 comumente usada {0,1,2,3,4}. Ao analisar isso decidi
>> transformar 2017 em um número de Base 5 {1,2,3,4,5}, ao usar esta base,
>> percebi que para transformar um número de Base Decimal em um de Base 5
>> {1,2,3,4,5} é quase o mesmo processo para transformá-lo em um número de
>> Base 5 {0,1,2,3,4}, onde a única diferença é que podemos usar 5x5^n e que
>> quando tivermos 0x5^n apenas basta ignorá-lo e partir para a próxima
>> potência de 5 (5^n-1).
>> Ao fazer isto obtive o seguinte:
>>
>> 2017= 3x5^4+1x5^3+3x5^1+2x5^0
>> 2017= 3132
>>
>> Agora, saibam que tem como transformar um número n de base 5 {1,2,3,4,5}
>> em um número x de base 5 {1,3,5,7,9} apenas mudando os algarismos
>> correspondentes, uma vez que os dois tem base 5.
>> então temos os seguinte correspondentes das Bases 5 {1,2,3,4,5} e
>> {1,3,5,7,9} respectivamente
>> 1=1
>> 2=3
>> 3=5
>> 4=7
>> 5=9
>>
>> Portanto o número 3132 da Base 5 {1,2,3,4,5} vira 5153 da Base 5
>> {1,3,5,7,9}
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
