Essa eh da IMO 1992. Tem uma solucao aqui: http://sms.math.nus.edu.sg/Simo/IMO_Problems/92.pdf
On Fri, Sep 11, 2020 at 10:06 PM Pedro José <petroc...@gmail.com> wrote: > Bom dia! > > Recebi de um filho de um amigo, um problema que já o fizera. > (a-1)(b-1)(c-1) | abc-1; 1<a<b<c, com a,b,c Naturais. > > Confesso que desta feita gastei mais tempo que da primeira vez. Curioso, > da primeira ,eu pensei, dessa vez, eu tentei lembrar como eu resolvera, aí > nem lembrava, nem pensava. Apelei para a internet, mas não encontrei nada. > Mas no fim, recordei o que havia feito. > (1+1/(a-1))(1+1/(b-1))(1+1/(c-1)) = k, onde k é inteiro. > vê-se que k>1, e para um dado a k é máximo para b e c mínimos logo b=a+1 e > c=a+2 > [a(a+1)(a+2)]/[(a-1)(a)(a+1)] > [a(a+1)(a+2)-1]/[(a-1)(a)(a+1)]>=2, então > (a+2)/(a-1)>2 ==> a <4, a=2 ou a=3. > O k é máximo para a=2, b=3 e c=4 ==> k <4, logo k=2 ou k=3. > S.p.g, se a é ímpar (a-1)(b-1)(c-1) é par; então b,c ímpares e k é livre. > S.p.g se a é par abc-1 é ímpar; então b,c são pares e k ímpar. > a=2, temos 2b(b+1)/[(b-1)b] >3, não usei a restrição de paridade para c > para facilitar a simplificação. b<5 Logo a=2<b<5 e b par, temos b=4. Como k > é ímpar k=3. Logo c= 8. (2,4,8) é uma solução. > > a=3 temos 3b(b+1)/[2(b-1)b] > 2; b<7 e 3<b<7 e b ímpar. temos b=5; kmax > para a=3 e b=5. kmax <= (15*7-1)/(2*4*6) <=2;pois k é inteiro. > 1<k<=2 ==> k=2 e c= 15. (3,5,15) é a outra solução. > > Só agora me apercebi de que c=ab nas duas soluções. Então tentei uma nova > solução. > (a-1)(b-1)(c-1) | abc-1 e (a-1)(b-1)(c-1) | abc + c(1 - (a+b)) -ab+ (a+b) > - 1 logo divide a diferença: > (a-1)(b-1)(c-1) | (a+b) (c-1) + ab -1 - (c-1) logo c-1 | ab-1, então ab-1= > w(c-1), para algum w inteiro e ab=w(c-1) +1 (i) > Como a=2 ou a=3 > Se a=2. e w>=2 > Temos por (i) 2b>= 2 (c-1) +1 c-1>=b, logo absurdo. > Se a=3 > Temos por (i) 3b>= w(c-1)+1; w=3 ==>3b< 3 (c-1) +1 pois c>b > w=2 ==> 3b =2(c-1) +1 ==> c=(3b+1)/2 > 2(b-1)(3b-1)/2 | 3b(3b+1)/2 -1 ==> 2(b-1)(3b-1)/ | 3b(3b+1) -2 ==> > 6b^2-8b-2 | 9b^2+3b-1 ==> 6b^2-8b-2 | 3b^2 +11b+ 4 > ==> b <=5. Como b>a=3 ==> b=5 e c= 8, ferindo a paridade. > Logo ab-1=c-1 ==> ab=c ==> (a-1)(b-1)(c-1) | c^2-1 ==> (a-1)(b-1) | c+1 > (a-1)(b-1) |ab+1==> (a-1)(b-1)!a+b > a=2 ==> 2b-2= 2+b. b=4 e c=ab=8 (2,4,8) > a=3 ==> 2(b-1) | 3+b ==> 2(b-1) = 3+. b=5 e c=ab=15. (3,5,15), > Forcei um pouco a barra para mostrar que c=ab. > Alguém teria uma outra solução, ou um endereço onde se tem as questões da > IMO e suas resoluções? > > Grato! > Saudações, > PJMS > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
