Ponha a = raiz(2). Então, vc precisa provar que, para n >= 2, a^(2n) > 1 + n*a^(n-1) <==> a^n > 1/a^n + n/a. Pra n = 2 isso é verdade. Suponha que, para um dado n >= 2, 1/a^n + n/a < a^n (H.I.) Então 1/a^(n+1) + (n+1)/a < 1/a^n + 1/a + n/a = 1/a + (1/a^n + n/a) < 1/a + a^n (pela H.I.)
Agora, resta provar que 1/a + a^n < a^(n+1), para n >= 2. Mas isso é equivalente a 1 + a^(n+1) < a*a^(n+1) <==> (a-1)*a^(n+1) > 1. Só que: (a-1)*a^(n+1) >= (a-1)*a^3 = a^4 - a^3 = 4 - 2*raiz(2) > 1, pois raiz(2) < 3/2. []s, Claudio. On Fri, Jan 29, 2021 at 3:56 PM Phablo dos Santos <phablodosan...@gmail.com> wrote: > Mostre que 2ⁿ > 1 + n√(2ⁿ⁻¹), para todo n≥2. > > Eu sei a prova desse problema partindo do caminho da indução, porém estou > tendo problemas tentando prová-lo pelo caminho da hipótese e gostaria da > ajuda de vcs nele. Vou postar aqui até onde cheguei com minha solução: > > Caso inicial n=2: 2² > 1+2√2 > Hip: n, n>2 : 2ⁿ > 1+n√(2ⁿ⁻¹) > Ind: n+1, n>2 : 2ⁿ⁺¹ > 1+(n+1)√(2ⁿ) > Pela hipótese:. 2ⁿ*2 > (1+n√(2ⁿ⁻¹))*2 > ∴ 2ⁿ⁺¹ > 2 + 2n√(2ⁿ⁻¹)=2+(√2)n√(2ⁿ) > 1+n√(2ⁿ). > A partir daí eu n consigo mais desenvolver. Desde já agradeço pela ajuda > >
