A princípio, não há nada que garanta que f seja derivável ou mesmo que o limite exista para esta prova valer. Mas, de fato, se o domínio está restrito a Q, você pode mostrar que f(x) = ax para algum a. Um caminho é definir f(1) = a e mostrar que f(1/n) = a/n, para então chegar em f(m/n) = ma/n.
Se o domínio fosse R, no entanto, não seguiria que f(x) = ax. O máximo que poderia-se dizer é que se T ∈ R é tal que existe um r de modo que para todo x ∈ T, x/r ∈ Q, existe um b tal que f(x) = bx para todo x ∈ T. Ou seja, dentro de determinadas classes de R, vale f(x) = ax, mas o valor de a pode mudar para cada classe. Em qua., 5 de mai. de 2021 às 11:14, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > f(x) = ax + b só satisfaz isso se b = 0. > Tente com x+1, por exemplo. > E mais: sem alguma outra condição (do tipo continuidade ou monotonicidade) > ainda assim a expressão não implica que f(x) = ax. > > Abs, > Cláudio. > > > Enviado do meu iPhone > > > Em 5 de mai. de 2021, à(s) 09:13, joao pedro b menezes < > joaopedrobmene...@gmail.com> escreveu: > > > > Eu estava fazendo um exercÃcio de equações funcionais e me deparei > com essa expressão. Não sei o que aconteceu, mas tive uma crise > existencial e decidi provar que isso implica f(x) = ax + b( ou pelo menos > acho que implica). Essa prova estaria certa?: > > (obs: a função é definida nos racionais) > > f(x + 0) = f(x) + f(0) => f(0) = 0. > > f(x + h) = f(x) + f(h) -> > > (f(x + h) - f(x))/h = f(h)/h = (f(h) - f(0))/h > > agora basta fazer lim h -> 0 e obtemos > > f’(x) = f’(0) . Mas f’(0) é uma constante, logo f(x) = ax + b > > (obs: tenho quase certeza que ela seria válida para os reais, porém > como a função é limitada aos racionais, estou em dúvida) > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
