Olá, segue uma solução.
Resposta. Apenas f(x) = 1 para todo x, f(x) = -1 para todo x ou f(x) =
x^2-1 para todo x.
Solução. defina g(x) = f(x) + 1. A equação dada vira
g(x^2y - y) = (g(x) - 1)^2g(y). (*)
Fazendo x=1 nessa nova equação, temos g(0) = (g(1) - 1)^2g(y) para todo y.
Caso g(1) não for igual a 1, teremos g(y) = g(0)(g(1) - 1)^{-2}, ou seja, g
é constante, e verifica-se que, nesse caso g(x) = 0 para todo x ou g(x) = 2
para todo x. Nesse caso, obtemos as duas primeiras possibilidades para f.
Logo, podemos assumir que g(1) = 1 e isso diz que g(0) = 0. Daí, fazendo x
= 0 em (*), obtemos g(-y) = g(y), ou seja, g é par. Ademais, y = 1 em (*)
diz que
g(x^2 - 1) = (g(x) - 1)^2.
Substituindo em (*) segue que
g((x^2 - 1)y) = g(x^2y - y) = (g(x) - 1)^2g(y) = g(x^2 - 1)g(y).
Logo, para p>=-1 e q real, temos g(pq) = g(p)g(q): basta escrever p = x^2 -
1 e q = y. Para p<-1, note que -p > 0, e então g(-pq) = g(-p)g(q), e usando
a paridade de g obtemos que g(pq) = g(-pq) = g(-p)g(q) = g(p)g(q). Logo,
segue que g(pq) = g(p)g(q) para todos p,q reais. Em particular, g(x^2) =
g(x)^2. Sabemos também que
g(x^2 - 1) = (g(x) - 1)^2.
Para y diferente de 0, troque x por x/y na equação acima e multiplique-a
por g(y^2) = g(y)^2:
g(x^2 - y^2) = g(y^2)g((x/y)^2 - 1) = g(y)^2(g(x/y) - 1)^2 = (g(x) -
g(y))^2.
Em suma,
g(x^2 - y^2) = (g(x) - g(y))^2,
e y diferente 0, mas essa relação também é verdadeira para y = 0. Logo, ela
vale para todos x,y reais.
Agora, defina uma função h:R_{>=0}-->R_{>=0} (dos reais não negativos nos
reais não negativos) tal que h(x^2) = g(x) para todo x >= 0 (como g(x^2) =
g(x)^2 >= 0, essa função está bem-definida). Então
h(x^2y^2) = g(xy) = g(x)g(y) = h(x^2)h(y^2),
donde segue que h é multiplicativa, pois x^2 >= 0 e y^2 >= 0 passam por
todo R_{>=0}. Ademais, para x >= y,
h(x^2 - y^2)^2 = g(x^2 - y^2) = (g(x) - g(y))^2 = (h(x^2) - h(y^2))^2,
de modo que, para todos x >= y >= 0,
h(x - y)^2 = (h(x) - h(y))^2.
Note que h(1) = h(1^2) = g(1) = 1 e h(0) = h(0^2) = g(0) = 0. Agora,
suponha que h(x) = h(y) para x > y. Temos então que
h(x - y)^2 = (h(x) - h(y))^2 = 0,
e então há algum real positivo z com h(z) = 0. Mas daí h(xz) = h(x)h(z) =
0, e como xz passa por todos os reais não negativos com x variando nos
reais não negativos, segue que h(x) = 0 para todo x >= 0, absurdo, pois
h(1) = 1. Logo, h é injetiva (h(x) diferente de h(y) para x,y distintos).
Logo, para x > y, note que
h(x + y)^2h(x - y)^2 = h(x^2 - y^2)^2 = (h(x^2) - h(y^2))^2 = (h(x)^2 -
h(y)^2)^2 = (h(x) + h(y))^2(h(x) - h(y))^2 = (h(x) + h(y))^2h(x - y)^2.
Como h(x - y) é diferente de 0, segue que h(x + y)^2 = (h(x) + h(y))^2 para
x > y. Como tudo é não negativo, segue que h(x + y) = h(x) + h(y) para x >
y. Ou seja, h é quase aditiva.
Mas ela é, na verdade, aditiva. Dados x,y>=0 quaisquer, tome z > x + y, e
então h(x) + h(y) + h(z) = h(x) + h(y + z) = h(x + y + z) = h(x + y) +
h(z), e então h(x + y) = h(x) + h(y) para quaisquer x,y>=0. Concluímos que
h é aditiva e multiplicativa.
Agora é fácil de terminar. Temos que h(nx) = nh(x) para todo x>=0 e n
inteiro positivo (indução em n), e daí, trocando x por x/n, temos h(x)/n =
h(x/n). Agora, trocando x por x/m, m>0 inteiro, em h(nx) = nh(x), segue que
h(nx/m) = nh(x/m) = nh(x)/m, e então h(qx) = qh(x) para todo x >= 0 e q>=0
racional. Mas h(x + y) = h(x) + h(y) >= h(x), ou seja, h é crescente. Como
os racionais não negativos são densos em R_{>=0}, dado r > 0, se q < r < p,
com p,q racionais, temos que q <= h(r) <= p usando que h é crescente e que
h(q) = qh(1) = 1. Assim, pela densidade dos racionais não negativos em
R_{>=0}, temos que f(r) = r. Então h(x) = x, g(x) = x^2 para x >= 0, mas g
é par, e então g(x) = x^2 para todo x, e f(x) = g(x) - 1 = x^2 - 1 para
todo x real, o que conclui o problema.
João Lemos
On Mon, Nov 11, 2024 at 7:41 PM mateusdc <[email protected]> wrote:
> Faz y = 0, isole f(x), faz x= 1, isole f(y)
>
>
> -------- Original Message --------
> On 11/11/24 19:12, Pedro Júnior wrote:
>
> Pessoal, alguém pode me ajudar com esse problema?
>
> Seja R o conjunto dos reais. Determine todas as funções f: R--> R tais
> que, para quaisquer x e y reais, temos
> f(x^2 y - y) = f(x)^2 f(y) + f(x)^2 - 1.
>
> Desde já fico grato!
> Att,
> Pedro
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
