Em seg., 11 de ago. de 2025, 21:00, Marcone Borges < [email protected]> escreveu:
> Determine todos os valores de n tais que n.2^n + 1 é um quadrado perfeito > > Não consegui mostrar que as soluções são n = 2 e n = 3, apenas > n*2^n + 1 = m^2 n*2^n = (m-1)(m+1) mdc(m+1,m-1) = 1 ou 2 se o mdc é 1, ambos são ímpares, logo n*2^n é ímpar e assim n=0. suponhamos que o mdc é 2. Então um deles é o dobro de um ímpar. Se m+1=2q, então (m+1)(m-1)=4q(q-1); se m-1=2q, então (m+1)(m-1)=4q(q+1). Vamos tratar or dois casos como 4Q(Q+1) e decidir depois quem é par ou ímpar. seja n=2^k*l com l ímpar. Assim n*2^n = l*(2^(k+n)) = 4Q(Q+1). Ou l*(2^(k+n-2)) = Q(Q+1). Se Q+1 for par, então Q = l, pois Q é ímpar e não terá fatores 2, e então Q+1 é potência de 2. Analogamente, se Q for par, Q+1=l e Q é poténcia de 2. Assim, ou m+1 ou m-1 são potências de 2. Se m-1=2^p, então m+1 = 2^p+2 e assim n*2^n = 2^(p+1)*(2^(p-1)+1) Se m+1=2^p, então m-1 = 2^p-2 e assim n*2^n = 2^(p+1)*(2^(p-1)-1) Daqui eu não consigo ir mais longe... > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
