Wyprowadzilismy poprzednio nastepujace wlasnosci
logarytmu naturalnego:
(AL0) log(1) = 0;
(AL1) log(x*y) = log(x) + log(y) dla dowolnych x y > 0;
(AL2) x/(1+x) < log(1+x) < x dla -1 < x =/= 0.
==========================================================================
Zastosujmy (AL2) do x=1/n. Wtedy
1/(n+1) = (1/n)/(1+1/n) < log(1 + 1/n) < 1/n.
Poniewaz log(n+1) - log(n) = log((n+1)/n) = log(1 + 1/n), to
otrzymujemy:
1/(n+1) < log(n+1) - log(n) < 1/n
1/n < log(n) - log(n-1) < 1/(n-1)
1/(n-1) < log(n-1) - log(n-2) < 1/(n-2)
...........................
1/3 < log(3) - log(2) < 1/2
1/2 < log(2) - log(1) < 1/1
Dodajmy stronami,
pamietajac, ze log(1) = 0, a dostaniemy:
1/2 + 1/3 + ... + 1/(n+1) < log(n+1) < 1/1 + 1/2 + ... + 1/n
Mozemy tez przerobic powyzsza podwojna nierownosc tak zeby
posrodku miec 1/1 + 1/2 + ... + 1/n:
log(n+1) < 1/1 + 1/2 + ... + 1/n < 1 + log(n)
dla dowolnego naturalnego n. Wynika stad w szczegolnosci, ze suma
nieskonczonego szeregu 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... jest nieskonczona.
==========================================================================
Dla naturalnego (a nawet calkowitego) wykladnika n mamy, z (AL1),
log(a^n) = n * log(a).
(Potegowanie z niecalkowitymi wykladnikami wprowadzimy sami nieco
pozniej, ponizej). Popatrzmy zatem na nastepujace cudo (bedziemy
korzystac z (AL2)), przy czym zakladamy, ze -n < x =/= 0:
log((1 + x/n)^n) =
n * log(1 + x/n) < n * (x/n) = x
t.zn.
log((1 + x/n)^n) < x (#)
Z drugiej strony, log(1 + x/n) > (x/n) / (1 + x/n) = x/(n+x).
Skoro ograniczamy sie (na razie) do calkowityh wykladnikow, to
niech X bedzie liczba calkowita, taka ze X >/ x. Wtedy:
log((1 + x/n)^(n+X)) =
(n+X) * log(1 + x/n) > (n+X) * x/(n+x) >/ x
t.zn.
log((1 + x/n)^(n+X)) > x. (##)
Polaczmy nierownosci (#) i (##) w jedna, podwojna:
(@) log((1 + x/n)^n) < x < log((1 + x/n)^(n+X))
Poniewaz logarytm jest funkcja rosnaca, to:
(1 + x/n)^n < (1 + x/n)^(n+X)
Gdy prawa/ strone/ podzielimy przez lewa/,
to dostajemy
(1 + x/n)^X
Przy ustalonym x i X, gdy n dazy do nieskonczonosci, to
x/n dazy do 0, a cale wyrazenie (1 + x/n)^X dazy do 1.
Zatem pomiedzy liczbami (1 + x/n)^n (dla n = 1 2 ...)
z lewej strony nierownosci, i liczbami (1 + x/n)^(n+X)
(dla n = 1 2 ...), z prawej strony, nie ma miejsca na wiecej
niz jedna liczbe, i ta jedyna liczba pomiedzy nimi oznaczamy
exp(x), czyli:
(@@) (1 + x/n)^n < exp(x) < (1 + x/n)^(n+X)
dla dowolnego n=1 2 ... Tak wlasnie zdefiniowalismy funkcje
wykladnicza (exponencjalna) exp. Przy tym exp(x) jest zdefiniowane
dla dowolnej liczby rzeczywistej x:
exp(x) = lim (1 + x/n)^n gdy n --> oo
Z nierownosci (@) i (@@) wynika, ze log(exp(x)) = x, czyli, ze
funkcja logarytmiczna i funkcja wykladnicza sa wzgledem siebie
odwrotne.
UWAGA. Wzor (@@) definiuje exp sam, bez jakiegokolwiek
wspominania logarytmu. Natomiast dzieki (AL0)-(AL2) wiemy, ze
log jest funkcja odwrotna do exp. Widzimy zatem, ze wlasnosci
(A0)-(A2) logarytm charakteryzuja, wyznaczaja funkcje
logarytmiczna jednoznacznie, ze zadna inna funkcja aksjomatow
(AL0)-(AL2) spelnic nie moze -- rzeczywiscie, taka funkcja jest
odwrotnoscia funkcji exp.
W szczegolnosci, definiujemy e := exp(1), tak ze
log(e) = log(exp(1)) = 1. Na mocy (@@) (podstawiajac x = e)
mamy:
(1 + 1/n)^n < e < (1 + 1/n)^(n+1)
dla n= 1 2 ...; zatem e = lim (1 + 1/n)^n gdy n --> oo.
Oczywiscie:
(AE0) exp(0) = 1;
(AE1) exp(x+y) = exp(x) * exp(y)
(AE2) exp(x/(1+x)) < 1+x < exp(x) gdy -1 < x =/= 0
(Dowodzik prosze/, jak powiedzial policjant do szybkiego
motorzysty).
==========================================================================
Teraz juz mozemy wprowadzic funkcje potegowa Pow (od ang. power),
dwoch zmiennych:
Pow(x t) := exp(t*log(x)) dla x>0 i dowolnego t.
Stad oczywiscie: log(Pow(x t)) = t*log(x).
Przyklad:
Pow(x 2) = exp(2*log(x)) = exp(log(x^2)) = x^2
Ogólnie, Pow(x n) = x^n dla dowolnego x>0 i calkowitego n.
Funkcja Pow ma nastepujace wlasnosci (i kupe innych :-)
(AP0) Pow(x 0) = 1;
(AP1) Pow(x 1) = x;
(AP2) Pow(x s+t) = Pow(x s) * Pow(x t);
(AP3) Pow(x*y t) = Pow(x t) * Pow(y t);
(AP4) Pow(Pow(x s) t) = Pow(x s*t).
Udowodnijmy ostatni wzor:
Pow(Pow(x s) t) = Pow(exp(s*log(x)) t) = exp(t*log(exp(s*log(x))))
= exp(t*s*log(x)) = Pow(x s*t).
Przy pomocy ogolnej funkcji wykladniczej Pow mozemy teraz wprowadzac
specjalne funkcje, jednej zmiennej poprzez ustalenie jednej ze zmiennych
w Pow. Na przyklad funkcje f(x) = x^(-9/10) mozemy latwo zdefiniowac
jako f(x) = Pow(x -9/10). Funkcje x^a, gdzie a jest ustalone i bliskie
-1 przyblizaja funkcje 1/x = x^(-1). Poprzez takie funkcje mozemy badac
logarytm, bo sa one latwiejsze w pewnym sensie niz specjalna funkcja 1/x.
Chodzi o to, ze calka funkcji x^a, dla a =/= -1, jest rowna
(x^(a+1))/(a+1), czyli jest funkcja podobnego typu, z wyjatkiem a =/= -1,
kiedy naraz, jakze tajemniczo, dostajemy logarytm. A wszystko z powodu
zera w mianowniku, naraz mamy jakby przejscie fazowe.
Pozdrawiam,
Wlodek
PS.
============================================================================
=
(i) Logarytm naturalny jest jedyna funkcja spelniajaca aksjomaty
(AL0)-(AL2);
(ii) Wszystkie wlasnosci logarytmu naturalnego mozna wyprowadzic z
aksjomatow
(AL0)-(AL1).
Stwierdzenia o jednoznacznosci obiektu okreslonego pewnymi wlasnosciami,
i o pelni takich wlasnosci, sa w matematyce zawsze rownowazne. Tego typu
gleboka filozoficzna zasada, jak rownowaznosc (i) i (ii), jest
charakterystyczna
dla matematyki i niemozliwa do wymyslenia dla filozofow, przerasta ich.
Tym niemniej pewne wlasnosci prosciej jest wyprowadzic wprost
z definicji logarytmu jako pola pod y=1/x. Na przyklad, krzywolinijny
trapez pod y=1/x, od 1 do x, zawiera sie w prostolinijnym trapezie
o tych samych wierzcholkach. Ponadto 2-x \< 1/x dla dowolnego x, czyli
wykres funkcji y=2-x jest pod wykresem funkcji y=1/x (odowodnijcie
to :-). Stad szybko dostajemy nierownosci ostrzejsze od (AL2):
x*(1-x/2) < log(x) < x * (1+x/2)/(1+x) dla x > 1
x*(1-x/2) > log(x) < x * (1+x/2)/(1+x) dla 0 < x < 1
Mozna przeprowadzic dokladniejsze przyblizenia geometryczne,
ale wraz z prostota zatraca sie elegancja. Zreszta sprobujcie,
moze nie?! Za konkurencje ma sie szereg Taylora. Szansa polega
na wykorzystaniu funkcji wymiernych zamiast wielomianow. Przy
tym mozna przyblizac z dwoch koncow odcinka naraz, zamiast
z jednego jak w szeregu Taylora.
==========================================================================
