Permutações
Desculpem, eu cometi um erro
crasso no último e-mail. Como devem ter visto, eu calculei permutações de 2 "b"s
e um "c" e esqueci de considerar os elementos repetidos. As possibilidades só
são 3.
{b,b,c,a,a,a} {b,c,b,a,a,a} {c,b,b,a,a,a}. E o que
o Grande Nicolau observou está certo. Isso equivale a achar anagramas em que a
posição de uma letra qualquer deve mudar.Por exemplo, Matematica ->
tamitacema não seria uma resposta.
Quanto à divisão da lista, eu
não acho que isso deveria acontecer. Não há motivo para se oprimir com as
integrais e os limites. Veja o meu caso. Estou na oitava e estão tão dispostos a
resolver minhas dúvidas (inclusive Nicolau, o Grande) de uma forma que eu possa
entender que às vezes eu acho que devia mandar menos e-mails, para tomar-lhes
menos tempo.
Re: Dia da semana
Com certeza o conceito de congruencia mod 7 será usado na resolução desse problema. No entando há outras coisas que deve-se levar em consideraço. POr exemplo o ano 2000 é um ano bissexto! Se quero saber que dia da semana cairá o dia 19/08/2001, é simples, pois a diferença em dias (de hj até a data) é de 365 == 1 (mod7) logo essa data será em um domingo (visto que hj é sabado) Se tivesse feito a mesma pergunta no dia 12/02/2000 (que tambám caiu em um sabado) para o dia 12/02/2001 a diferença não seria 365 mas sim 366 ==2 (mod7) logo essa data deve ser em uma segunda feira! Um algoritmo para prever qualquer data deveria levar em consideração essas variações... Espero ter ajudado []'s MP - Original Message - From: "Marcos Eike Tinen dos Santos" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, August 19, 2000 12:38 AM Subject: Re: Dia da semana > Para isso usa-se congruência. > > a==b(mod n) > > Veja que é um modo simplificado de expressar que ao dividir tanto a quanto b > por n dará um resto único r. > > Logo: a==x(mod 7) > > Acredito que seja isso, pois a diferença são 7 dias. > > Ats, > Marcos Eike > > > > > -Mensagem Original- > De: Wellington Ribeiro de Assis <[EMAIL PROTECTED]> > Para: discusspio de problemas <[EMAIL PROTECTED]> > Enviada em: Sexta-feira, 18 de Agosto de 2000 22:59 > Assunto: Dia da semana > > > > Prezados amigos > > > > Alguem sabe dizer como eh o algoritmo usado para se descobrir que dia > > da semana cai uma determinada data de um ano qualquer? > > > > Bons estudos e abraco a todos, > > Wellington >
Re: Re: Re: sugestão
Eh verdade. Tambem estiveram no Brasil o Dieudonne (a alma do Bourbaki) e o Grothendieck. JP -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Data: Sexta-feira, 18 de Agosto de 2000 18:11 Assunto: Re: Re: Re: sugestão >Obrigado ao JP pela correção, eu acabei criando um terceiro matemático >(uma mistura de André Veil com Andrew Wiles, lamentável confusão.) > >A próposito, Andre Veil não esteve desenvolvendo alguns trabalhos por aqui >(acho que antes de 1950) mais ou menos na epóca de grande atividade de >Leopoldo Nachbin (um dos fundadores do IMPA). Se não me engano li algo >sobre isso num pequeno livreto, uma espécie de homenagem que seu filho (Um >pesquisador do IMPA) fez à esse grande lutador pela matemática no brasil >que, como de costume, não recebe o valor merecido. > >Estou enganado JP ? ou quem saiba... > >[]'s >Alexandre Vellasquez > > > >>Mais uma vez concordo com o Alexandre. >> >>Esclarecimento historico: >>Andrew Wiles: matematico que demonstrou o grande teorema de Fermat. >>Andre Veil: matematico frances que fez parte do grupo Bourbaki. >>Hermann Weyl: matematico alemao, um dos ultimos da escola de Goettingen, >>que acabou desbaratada a partir de 1933, com a ascensao do nazismo. >>JP >> > >
Re: Problema
Encontrei uma resposta genérica pra esse problema (q aliás foi proposto há muito tempo na lista) mas vou enunciar o caso particular abordado. A resposta genérica é de fácil deduçao. Utilizarei a#n como notaçao para a índice n, uma vez que * representará multiplicacoes. a#n = 6^n + 8^n a#93/a#49 = (6^93 + 4^93)/(6^49 + 4^49) = = [2^93 (3^93 + 4^93)] / [2^49 (3^49 + 4^49)] = = 2^44 [(3^93 + 4^93)/(3^49 + 4^49)] (1) Seja a#93/a#49 = a#49 * k + R, onde k é natural e R é o resto procurado. Assim 2^44 [(3^93 + 4^93)/(3^49 + 4^49)] = 2^49 * (3^49 + 4^49)k + R (2) Seja 3^49 + 4^49 = a e 3^93 + 4^93 = b. Dessa forma, R = 2^44 * (b/a) - 2^49 * a * k Ou, R = 2^44 * [ (b/a) - 32ak ] --> R = 2^44 * [ (b - 32k * a^2) / a] Ora, a é um natural ímpar. Portanto, a nao divide 2^44. Portnato, para que R seja natural, o natural a necessariamente divide (b - 32k * a^2). Como b é ímpar e (32k * a^2) é par, (b - 32k * a^2) é ímpar. Numa divisao exata, se dividendo e divisor sao ambos ímpares, entao o quociente também será ímpar. Assim sendo, deve haver um natural ímpar p, tal que R = 2^44 * p Substituindo R por 2^44 * p em (2), temos: 2^44 * (b/a) = 2^49 * ak + 2^44 * p Daí, 2^44 * [ (b/a) - p ] = 2^49 * ak Ou, [ 2^44 * (b - ap) ] / a = 2^49 * ak Como 2^29 * ak é um inteiro postivo, a deve dividir [ 2^44 * (b - ap) ]. 2^44 nao é divisível por a, uma vez que a é um natural ímpar. Daí, conclui-se que a deve dividir (b - ap). Para isso, é necessario e suficiente que a divida b. (CONCLUSAO 1) Mas, de (1), a#93/a#49 = 2^44 * [ (3^93 + 4^93) / (3^49 + 4^49) ] = = 2^44 * (b/a) Como b é divisível por a (conclusao 1), entao [ 2^44 * (b/a)] é um inteiro positivo, o que nos mostra que a#93 é divisível por a#49. Assim sendo, o resto de a#93 / a#49 é ZERO. Resposta: ZERO. Espero ter ajudado, apesar da demora. Saudaçoes Tricolores, Alexandre Terezan. - Original Message - From: "Eduardo Quintas da Silva" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sexta-feira, 4 de Agosto de 2000 22:21 Subject: Problema Seja a*n = 6^n + 8^n. Calcule o resto de a*93 / a*49.Entende-se por a*n : a índice n.
Re: Problema
>From: "Alexandre F. Terezan" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: "OBM" <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: Re: Problema >Date: Sat, 19 Aug 2000 15:16:27 -0300 > >Encontrei uma resposta genérica pra esse problema (q aliás foi proposto há >muito tempo na lista) mas vou enunciar o caso particular abordado. > A resposta genérica é de fácil deduçao. > >Utilizarei a#n como notaçao para a índice n, uma vez que * representará >multiplicacoes. > >a#n = 6^n + 8^n > >a#93/a#49 = (6^93 + 4^93)/(6^49 + 4^49) = >= [2^93 (3^93 + 4^93)] / [2^49 (3^49 + 4^49)] = >= 2^44 [(3^93 + 4^93)/(3^49 + 4^49)] (1) > >Seja a#93/a#49 = a#49 * k + R, onde k é natural e R é o resto procurado. Olá Alexandre, perceba que a#49 é inteiro, e portanto a#49*k somado a R é inteiro, ou seja, você está supondo que a#93/a#49 é inteiro. Um jeito de fazer a divisão euclidiana é a#93 = a#49*k + R, com R >Assim 2^44 [(3^93 + 4^93)/(3^49 + 4^49)] = 2^49 * (3^49 + 4^49)k + R (2) > >Seja 3^49 + 4^49 = a e 3^93 + 4^93 = b. > >Dessa forma, R = 2^44 * (b/a) - 2^49 * a * k > >Ou, R = 2^44 * [ (b/a) - 32ak ] --> R = 2^44 * [ (b - 32k * a^2) / a] > >Ora, a é um natural ímpar. Portanto, a nao divide 2^44. > >Portnato, para que R seja natural, >o natural a necessariamente divide (b - 32k * a^2). > >Como b é ímpar e (32k * a^2) é par, (b - 32k * a^2) é ímpar. > >Numa divisao exata, se dividendo e divisor sao ambos ímpares, entao o >quociente também será ímpar. > >Assim sendo, deve haver um natural ímpar p, tal que R = 2^44 * p > >Substituindo R por 2^44 * p em (2), temos: > >2^44 * (b/a) = 2^49 * ak + 2^44 * p > >Daí, 2^44 * [ (b/a) - p ] = 2^49 * ak > >Ou, [ 2^44 * (b - ap) ] / a = 2^49 * ak > >Como 2^29 * ak é um inteiro postivo, a deve dividir [ 2^44 * (b - ap) ]. > >2^44 nao é divisível por a, uma vez que a é um natural ímpar. > >Daí, conclui-se que a deve dividir (b - ap). > >Para isso, é necessario e suficiente que a divida b. (CONCLUSAO 1) > >Mas, de (1), a#93/a#49 = 2^44 * [ (3^93 + 4^93) / (3^49 + 4^49) ] = >= 2^44 * (b/a) > >Como b é divisível por a (conclusao 1), entao [ 2^44 * (b/a)] é um inteiro >positivo, o que nos mostra que a#93 é divisível por a#49. > >Assim sendo, o resto de a#93 / a#49 é ZERO. > >Resposta: ZERO. > >Espero ter ajudado, apesar da demora. > >Saudaçoes Tricolores, Alexandre Terezan. > >- Original Message - >From: "Eduardo Quintas da Silva" <[EMAIL PROTECTED]> >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Sent: Sexta-feira, 4 de Agosto de 2000 22:21 >Subject: Problema > > >Seja a*n = 6^n + 8^n. Calcule o resto de a*93 / a*49. > >Entende-se por a*n : a índice n. > > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: Problema
Desculpem-me pela asneira... Alguém conseguiu resolver tal problema? - Original Message - From: "Ecass Dodebel" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sábado, 19 de Agosto de 2000 18:21 Subject: Re: Problema >From: "Alexandre F. Terezan" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: "OBM" <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: Re: Problema >Date: Sat, 19 Aug 2000 15:16:27 -0300 > >Encontrei uma resposta genérica pra esse problema (q aliás foi proposto há >muito tempo na lista) mas vou enunciar o caso particular abordado. > A resposta genérica é de fácil deduçao. > >Utilizarei a#n como notaçao para a índice n, uma vez que * representará >multiplicacoes. > >a#n = 6^n + 8^n > >a#93/a#49 = (6^93 + 4^93)/(6^49 + 4^49) = >= [2^93 (3^93 + 4^93)] / [2^49 (3^49 + 4^49)] = >= 2^44 [(3^93 + 4^93)/(3^49 + 4^49)] (1) > >Seja a#93/a#49 = a#49 * k + R, onde k é natural e R é o resto procurado. Olá Alexandre, perceba que a#49 é inteiro, e portanto a#49*k somado a R é inteiro, ou seja, você está supondo que a#93/a#49 é inteiro. Um jeito de fazer a divisão euclidiana é a#93 = a#49*k + R, com R >Assim 2^44 [(3^93 + 4^93)/(3^49 + 4^49)] = 2^49 * (3^49 + 4^49)k + R (2) > >Seja 3^49 + 4^49 = a e 3^93 + 4^93 = b. > >Dessa forma, R = 2^44 * (b/a) - 2^49 * a * k > >Ou, R = 2^44 * [ (b/a) - 32ak ] --> R = 2^44 * [ (b - 32k * a^2) / a] > >Ora, a é um natural ímpar. Portanto, a nao divide 2^44. > >Portnato, para que R seja natural, >o natural a necessariamente divide (b - 32k * a^2). > >Como b é ímpar e (32k * a^2) é par, (b - 32k * a^2) é ímpar. > >Numa divisao exata, se dividendo e divisor sao ambos ímpares, entao o >quociente também será ímpar. > >Assim sendo, deve haver um natural ímpar p, tal que R = 2^44 * p > >Substituindo R por 2^44 * p em (2), temos: > >2^44 * (b/a) = 2^49 * ak + 2^44 * p > >Daí, 2^44 * [ (b/a) - p ] = 2^49 * ak > >Ou, [ 2^44 * (b - ap) ] / a = 2^49 * ak > >Como 2^29 * ak é um inteiro postivo, a deve dividir [ 2^44 * (b - ap) ]. > >2^44 nao é divisível por a, uma vez que a é um natural ímpar. > >Daí, conclui-se que a deve dividir (b - ap). > >Para isso, é necessario e suficiente que a divida b. (CONCLUSAO 1) > >Mas, de (1), a#93/a#49 = 2^44 * [ (3^93 + 4^93) / (3^49 + 4^49) ] = >= 2^44 * (b/a) > >Como b é divisível por a (conclusao 1), entao [ 2^44 * (b/a)] é um inteiro >positivo, o que nos mostra que a#93 é divisível por a#49. > >Assim sendo, o resto de a#93 / a#49 é ZERO. > >Resposta: ZERO. > >Espero ter ajudado, apesar da demora. > >Saudaçoes Tricolores, Alexandre Terezan. > >- Original Message - >From: "Eduardo Quintas da Silva" <[EMAIL PROTECTED]> >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Sent: Sexta-feira, 4 de Agosto de 2000 22:21 >Subject: Problema > > >Seja a*n = 6^n + 8^n. Calcule o resto de a*93 / a*49. > >Entende-se por a*n : a índice n. > > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: Problema
DE FATO a#93/a#49 NÃO é inteiro, como se vê abaixo. (3^93 + 4^93) $ 3 (mod 7) (3^49 + 4^49) $ 4 (mod 7) $ representa congruência Novamente desculpem-me pela asneira anterior. - Original Message - From: "Ecass Dodebel" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sábado, 19 de Agosto de 2000 18:21 Subject: Re: Problema >From: "Alexandre F. Terezan" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: "OBM" <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: Re: Problema >Date: Sat, 19 Aug 2000 15:16:27 -0300 > >Encontrei uma resposta genérica pra esse problema (q aliás foi proposto há >muito tempo na lista) mas vou enunciar o caso particular abordado. > A resposta genérica é de fácil deduçao. > >Utilizarei a#n como notaçao para a índice n, uma vez que * representará >multiplicacoes. > >a#n = 6^n + 8^n > >a#93/a#49 = (6^93 + 4^93)/(6^49 + 4^49) = >= [2^93 (3^93 + 4^93)] / [2^49 (3^49 + 4^49)] = >= 2^44 [(3^93 + 4^93)/(3^49 + 4^49)] (1) > >Seja a#93/a#49 = a#49 * k + R, onde k é natural e R é o resto procurado. Olá Alexandre, perceba que a#49 é inteiro, e portanto a#49*k somado a R é inteiro, ou seja, você está supondo que a#93/a#49 é inteiro. Um jeito de fazer a divisão euclidiana é a#93 = a#49*k + R, com R >Assim 2^44 [(3^93 + 4^93)/(3^49 + 4^49)] = 2^49 * (3^49 + 4^49)k + R (2) > >Seja 3^49 + 4^49 = a e 3^93 + 4^93 = b. > >Dessa forma, R = 2^44 * (b/a) - 2^49 * a * k > >Ou, R = 2^44 * [ (b/a) - 32ak ] --> R = 2^44 * [ (b - 32k * a^2) / a] > >Ora, a é um natural ímpar. Portanto, a nao divide 2^44. > >Portnato, para que R seja natural, >o natural a necessariamente divide (b - 32k * a^2). > >Como b é ímpar e (32k * a^2) é par, (b - 32k * a^2) é ímpar. > >Numa divisao exata, se dividendo e divisor sao ambos ímpares, entao o >quociente também será ímpar. > >Assim sendo, deve haver um natural ímpar p, tal que R = 2^44 * p > >Substituindo R por 2^44 * p em (2), temos: > >2^44 * (b/a) = 2^49 * ak + 2^44 * p > >Daí, 2^44 * [ (b/a) - p ] = 2^49 * ak > >Ou, [ 2^44 * (b - ap) ] / a = 2^49 * ak > >Como 2^29 * ak é um inteiro postivo, a deve dividir [ 2^44 * (b - ap) ]. > >2^44 nao é divisível por a, uma vez que a é um natural ímpar. > >Daí, conclui-se que a deve dividir (b - ap). > >Para isso, é necessario e suficiente que a divida b. (CONCLUSAO 1) > >Mas, de (1), a#93/a#49 = 2^44 * [ (3^93 + 4^93) / (3^49 + 4^49) ] = >= 2^44 * (b/a) > >Como b é divisível por a (conclusao 1), entao [ 2^44 * (b/a)] é um inteiro >positivo, o que nos mostra que a#93 é divisível por a#49. > >Assim sendo, o resto de a#93 / a#49 é ZERO. > >Resposta: ZERO. > >Espero ter ajudado, apesar da demora. > >Saudaçoes Tricolores, Alexandre Terezan. > >- Original Message - >From: "Eduardo Quintas da Silva" <[EMAIL PROTECTED]> >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Sent: Sexta-feira, 4 de Agosto de 2000 22:21 >Subject: Problema > > >Seja a*n = 6^n + 8^n. Calcule o resto de a*93 / a*49. > >Entende-se por a*n : a índice n. > > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: Dia da semana
Wellington Ribeiro de Assis wrote: > > Prezados amigos > > Alguem sabe dizer como eh o algoritmo usado para se descobrir que dia > da semana cai uma determinada data de um ano qualquer? > > Bons estudos e abraco a todos, > Wellington A RPM publicou um artigo, de A. C. Morgado (ou seja, eu), provando a fórmula que permite tal calculo. Um abraco. Morgado
Re: Dia da semana
>Para isso usa-se congruência. > >a==b(mod n) > >Veja que é um modo simplificado de expressar que ao dividir tanto a quanto b >por n dará um resto único r. > >Logo: a==x(mod 7) > >Acredito que seja isso, pois a diferença são 7 dias. > >Ats, >Marcos Eike > > Caros amigos: Morgado ja publicou na Revista do Professor de Matematica (nao sei que numero) um algoritmo que resolve a completamente a questao. Nao eh simples como parece pois os anos bissextos tem suas propriedades esquisitas. Vou procurar e em breve envio a resposta para voces. >-Mensagem Original- >De: Wellington Ribeiro de Assis <[EMAIL PROTECTED]> >Para: discusspio de problemas <[EMAIL PROTECTED]> >Enviada em: Sexta-feira, 18 de Agosto de 2000 22:59 >Assunto: Dia da semana > > >> Prezados amigos >> >> Alguem sabe dizer como eh o algoritmo usado para se descobrir que dia >> da semana cai uma determinada data de um ano qualquer? >> >> Bons estudos e abraco a todos, >> Wellington
