Re: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora?
Ola... Bom sem querer ser chato, eu ja tinha respondido sim! Foi a primeira resposta nessa thread... Mas foi bom vc ter respondido de novo caso outros tenham perdido a resposta tb! On 8/23/08, João Gabriel Preturlan [EMAIL PROTECTED] wrote: Saudações a todos! Vi que essa questão tem sido muito comentada nos últimos dias, mas ninguém propôs uma solução de fato. Então proporei uma solução! Partindo das seguintes premissas: 1) (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2 + 2ab (às vezes fica mais fácil uma visualização quando escrito dessa forma... Não sei se vocês conhecem o professor Ponce, ele sempre prefere esse tipo de configuração. Pode parecer elementar, mas ajuda muito na visualização de algo importante para resolver o exercício.) Então, se pegarmos o 3 + 2*sqrt{2}, ele pode ser escrito como 2 + 1 + 2*sqrt{2}... Acho que vocês já conseguiram ver, portanto, que essa expressão nada mais é do que (sqrt{2} + 1)^2 O mesmo vale para o (3 - 2*sqrt{2}) = (2 + 1 - 2*sqrt{2}) = 2) (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a(a^2 + 3b^2) + b(b^2 + 3a^2)... Assim, (5*sqrt{2} + 7) acho que pode ser escrito melhor como (novamente pra facilitar a visualização): (sqrt{2}*5 + 7)... pode parecer elementar, mas acho que já fica fácil de visualizar que: (sqrt{2}*[ (sqrt{2})^2 + 3*(1)^2 ] + 1*[ (1)^2 + 3*{(sqrt{2})^2} ]) Aí, acho que nem preciso me alongar e já posso concluir que (5*sqrt{2} + 7) = (sqrt{2} + 1)^3 Assim, na expressão temos (já substituindo o que foi descoberto e efetuando as multiplicações de expoente): [(sqrt{2} + 1)^4016]/[(sqrt{2} + 1)^4014] + (sqrt{2} - 1)^2 Efetuando a divisão: (sqrt{2} + 1)^2 + (sqrt{2} - 1)^2 Assim, desenvolvendo (no fim nem precisava transformar em quadrado da soma a parte fora da fração...): 3 + 2*sqrt{2} + 3 - 2*sqrt{2} = 3 + 3 = 6 Logo, o número é um múltiplo de 6! Boa Noite e espero que eu tenha sido claro e compreensível. Vale a pena frisar que as mudanças elementares e até bobas dos produtos notáveis são apenas para facilitar visualização. Pra mim isso funciona muito bem... pode não fazer diferença para alguns... -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Rafael Ando Enviada em: sexta-feira, 22 de agosto de 2008 13:03 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora? Hm... Eu sei q da 6 exato... Tava falando q se o 3-2sqrt(2) estivesse no denominador, I resultado nao seria inteiro... On 8/22/08, JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED] wrote: Dá 6 exato. Em 22/08/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu: Hm daria um numero apenas um pouquinho MENOR que 3+2sqrt(2), eu quis dizer 2008/8/22 Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] Bom, eu não vi o enunciado do problema propriamente dito, mas tenho quase certeza que é somado... o resultado nem da inteiro se fizer parte do denominador (daria um numero apenas um pouquinho maior que 3+2sqrt(2)). 2008/8/21 Fernando Lima Gama Junior [EMAIL PROTECTED] O + 3 - 2* raiz quadrada de 2 faz parte do denominador ou é somado à fração existente? 2008/8/21 JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED] Obrigado pessoal, falei calculadora por falar, mas o que usei foi o Mathematica 5 que efetua qualquer tipo de cálculo e encontrei 6. Airton Em 21/08/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu: Interessante, eu pensei a mesma coisa quando eu vi! acho que mesmo com uma hp49 seria dificil... 2008/8/21 Maurício Collares [EMAIL PROTECTED] Curiosidade minha: Como você resolveria isso *com* calculadora? (com uma calculadora que não tenha um CAS com suporte a cálculos precisão arbitrária como as HP49G, quero dizer). Pergunto porque teve um problema similar no Google Code Jam que pedia para o competidor calcular os últimos três digitos da parte inteira de (3 + sqrt(5))^n, e esse foi um dos problemas mais difíceis de toda a prova (depois dá uma olhada em http://code.google.com/codejam/, lá tem uma análise detalhada da solução do problema que acabei de mencionar) -- Abraços, Maurício On Wed, Aug 20, 2008 at 5:13 PM, JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED] wrote: O valor de (3 + 2*raiz quadrada de 2)^2008 / (5* raiz quadrada de 2 + 7)^1338 + 3 - 2* raiz quadrada de 2 é um número: a) múltiplo de 11 b) múltiplo de 7 Colégio naval 2008 Resp. d c) múltiplo de 5 d) múltiplo de 3 e) primo. -- Rafael -- Rafael -- Rafael -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = No virus found in this incoming message. Checked by AVG - http://www.avg.com Version: 8.0.138 / Virus Database: 270.6.6/1626 - Release Date: 21/08/2008 18:54
RES: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora?
Ok Rafael... perdão não vi sua resposta mesmo... é que não estava junto desse e-mail, mas indo um pouco lá atrás acabei de encontrá-la... Bom... próxima vez que eu for responder algo me certificarei de que a resposta já não foi postada... Desculpe-me de novo! -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Rafael Ando Enviada em: sábado, 23 de agosto de 2008 04:35 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora? Ola... Bom sem querer ser chato, eu ja tinha respondido sim! Foi a primeira resposta nessa thread... Mas foi bom vc ter respondido de novo caso outros tenham perdido a resposta tb! On 8/23/08, João Gabriel Preturlan [EMAIL PROTECTED] wrote: Saudações a todos! Vi que essa questão tem sido muito comentada nos últimos dias, mas ninguém propôs uma solução de fato. Então proporei uma solução! Partindo das seguintes premissas: 1) (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2 + 2ab (às vezes fica mais fácil uma visualização quando escrito dessa forma... Não sei se vocês conhecem o professor Ponce, ele sempre prefere esse tipo de configuração. Pode parecer elementar, mas ajuda muito na visualização de algo importante para resolver o exercício.) Então, se pegarmos o 3 + 2*sqrt{2}, ele pode ser escrito como 2 + 1 + 2*sqrt{2}... Acho que vocês já conseguiram ver, portanto, que essa expressão nada mais é do que (sqrt{2} + 1)^2 O mesmo vale para o (3 - 2*sqrt{2}) = (2 + 1 - 2*sqrt{2}) = 2) (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a(a^2 + 3b^2) + b(b^2 + 3a^2)... Assim, (5*sqrt{2} + 7) acho que pode ser escrito melhor como (novamente pra facilitar a visualização): (sqrt{2}*5 + 7)... pode parecer elementar, mas acho que já fica fácil de visualizar que: (sqrt{2}*[ (sqrt{2})^2 + 3*(1)^2 ] + 1*[ (1)^2 + 3*{(sqrt{2})^2} ]) Aí, acho que nem preciso me alongar e já posso concluir que (5*sqrt{2} + 7) = (sqrt{2} + 1)^3 Assim, na expressão temos (já substituindo o que foi descoberto e efetuando as multiplicações de expoente): [(sqrt{2} + 1)^4016]/[(sqrt{2} + 1)^4014] + (sqrt{2} - 1)^2 Efetuando a divisão: (sqrt{2} + 1)^2 + (sqrt{2} - 1)^2 Assim, desenvolvendo (no fim nem precisava transformar em quadrado da soma a parte fora da fração...): 3 + 2*sqrt{2} + 3 - 2*sqrt{2} = 3 + 3 = 6 Logo, o número é um múltiplo de 6! Boa Noite e espero que eu tenha sido claro e compreensível. Vale a pena frisar que as mudanças elementares e até bobas dos produtos notáveis são apenas para facilitar visualização. Pra mim isso funciona muito bem... pode não fazer diferença para alguns... -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Rafael Ando Enviada em: sexta-feira, 22 de agosto de 2008 13:03 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Como se resolve sem usar calculadora? Hm... Eu sei q da 6 exato... Tava falando q se o 3-2sqrt(2) estivesse no denominador, I resultado nao seria inteiro... On 8/22/08, JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED] wrote: Dá 6 exato. Em 22/08/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu: Hm daria um numero apenas um pouquinho MENOR que 3+2sqrt(2), eu quis dizer 2008/8/22 Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] Bom, eu não vi o enunciado do problema propriamente dito, mas tenho quase certeza que é somado... o resultado nem da inteiro se fizer parte do denominador (daria um numero apenas um pouquinho maior que 3+2sqrt(2)). 2008/8/21 Fernando Lima Gama Junior [EMAIL PROTECTED] O + 3 - 2* raiz quadrada de 2 faz parte do denominador ou é somado à fração existente? 2008/8/21 JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED] Obrigado pessoal, falei calculadora por falar, mas o que usei foi o Mathematica 5 que efetua qualquer tipo de cálculo e encontrei 6. Airton Em 21/08/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu: Interessante, eu pensei a mesma coisa quando eu vi! acho que mesmo com uma hp49 seria dificil... 2008/8/21 Maurício Collares [EMAIL PROTECTED] Curiosidade minha: Como você resolveria isso *com* calculadora? (com uma calculadora que não tenha um CAS com suporte a cálculos precisão arbitrária como as HP49G, quero dizer). Pergunto porque teve um problema similar no Google Code Jam que pedia para o competidor calcular os últimos três digitos da parte inteira de (3 + sqrt(5))^n, e esse foi um dos problemas mais difíceis de toda a prova (depois dá uma olhada em http://code.google.com/codejam/, lá tem uma análise detalhada da solução do problema que acabei de mencionar) -- Abraços, Maurício On Wed, Aug 20, 2008 at 5:13 PM, JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED] wrote: O valor de (3 + 2*raiz quadrada de 2)^2008 / (5* raiz quadrada de 2 + 7)^1338 + 3 - 2* raiz quadrada de 2 é um número: a) múltiplo de 11 b) múltiplo de 7 Colégio naval 2008 Resp. d c) múltiplo de 5 d) múltiplo de 3 e) primo. -- Rafael -- Rafael -- Rafael --
Re: [obm-l] Superficie
Um bom começo é lembrar que a distância de um ponto P = (x,y) à origem é: sqrt(x^2 + y^2).