Hello, I am a bit afraid to gain a nickname "the itemize-column guy", but it seems that again there's a problem with this feature... Unfortunately, I did not manage to isolate the problem, so maybe it lies somewhere completely else. Anyway, sorry for spamming the list again with a complete file of one of my documents (it's all Polish to most of you anyway;)), but it compiles succesfully, but very strangely (it looks like \vsize > \paperheight) on newest ConTeXt (it used to look just fine about three weeks ago).
Any clues? -- Marcin Borkowski http://mbork.pl
% Äwiczenia na Newtona o grach \mainlanguage[pl] \usetypescript[pagella] \setupbodyfont[pagella] \usemodule[tikz] \usetikzlibrary[calc] \let\origstarttikzpicture=\starttikzpicture \let\origstoptikzpicture=\stoptikzpicture \def\starttikzpicture{\hbox\bgroup\origstarttikzpicture} \def\stoptikzpicture {\origstoptikzpicture\egroup} \def\todo#1{{\em \kap{do dopisania}: #1}} %\setupinteraction[state=start] \enablemode[nauczyciel] %\disablemode[nauczyciel] \def\startteacher{\grabbufferdata[teacher][startteacher][stopteacher]} \doifmodeelse{nauczyciel}{\def\stopteacher{\par{\switchtobodyfont[small]\getbuffer[teacher]\par}}}{\def\stopteacher{}} \def\startanswer{\par\dostartbuffer[answer][startanswer][stopanswer]} \doifmodeelse{nauczyciel}{\def\stopanswer{{\switchtobodyfont[small]\blank[small]{\sl Odpowiedź.} \getbuffer[answer]\par}}}{\def\stopanswer{}} \def\putdotafter#1{#1.} \setuphead[subject][style=bold,after={},alternative=text,distance=0.25em,textcommand=\putdotafter] %\setuphead[section][numbercommand=\putdotafter] \setuphead[chapter][sectionstopper=.,page=no] \def\teacheronly#1{\doifmode{nauczyciel}{#1}} \def\time#1{\doifmode{nauczyciel}{\removeunwantedspaces \hskip 0pt plus 6em\penalty20\ \hskip 0pt plus -6em (#1~minut)}} \defineitemgroup[exercises] \setupitemgroup[exercises][1][n,broad,intro][left={\headnumber[chapter]},before={},inbetween={\blank[medium]}] \def\ppauza{\unskip\kern.2em--\hskip.2em\ignorespaces} \starttext \noheaderandfooterlines \startalignment[middle] \tfd Gry (materiaÅy na Äwiczenia w~czwartek) \par\blank[big] \stopalignment \startnotmode[nauczyciel] \placefigure[bottom,none]{}{% \hbox to \textwidth{ \externalfigure[logo-1-t][height=1.5cm]\hfil \externalfigure[logo-2-t][height=1.5cm]\hfil \externalfigure[logo-3-t][height=1.5cm] }} \stopnotmode \completecontent[alternative=a,pagestyle=slanted,distance=2pt] \page \startchapter[title={Gry macierzowe\time{15--20}}] \startexercises \startitem Jakie sÄ strategie optymalne dla obu graczy w~grze o~poniższej macierzy? \startformula \startmathmatrix[n=2,left={\left(\,},right={\,\right)},align=right] \NC 1 \NC 2 \NR \NC 3 \NC 4 \NR \stopmathmatrix \stopformula \startteacher Macierz interpretujemy nastÄpujÄ co: I~gracz wybiera wiersz, II~gracz wybiera kolumnÄ (obaj robiÄ to równoczeÅnie), po czym II~gracz wypÅaca pierwszemu kwotÄ z~przeciÄcia wybranego wiersza i~kolumny (gra o~sumie zero: wygrana jednego gracza jest równa przegranej drugiego). \stopteacher \startanswer Pierwszy gracz, wybierajÄ c drugi wiersz, w~każdym wypadku wygrywa wiÄcej, niż gdyby wybraÅ pierwszy; powinien wiÄc wybraÄ drugi wiersz (dominujÄ cy). Drugi gracz, wybierajÄ c pierwszÄ kolumnÄ, w~każdym przypadku traci mniej, niż gdyby wybraÅ drugÄ ; powinien wiÄc wybraÄ pierwszÄ (dominujÄ cÄ ) kolumnÄ. \stopanswer \stopitem \startitem Rozważmy grÄ z~nastÄpujÄ cÄ macierzÄ : \startformula \startmathmatrix[n=3,left={\left(\,},right={\,\right)},align=right] \NC 4 \NC 1 \NC -1 \NR \NC 0 \NC 1 \NC 6 \NR \NC 3 \NC 2 \NC 5 \NR \stopmathmatrix \stopformula Jaka jest optymalna strategia dla każdego z~graczy? \startanswer Å»aden wiersz ani kolumna nie sÄ dominujÄ ce, ale ponieważ \math{2} w~trzecim rzÄdzie i~drugiej kolumnie jest {\em najmniejszÄ } wartoÅciÄ w~swoim rzÄdzie i~{\em najwiÄkszÄ } wartoÅciÄ w~swojej kolumnie, optymalnÄ strategiÄ dla I~gracza jest trzecia (wygra co najmniej~\math{2} niezależnie od strategii II~gracza), a~dla II~gracza druga (przegra co najwyżej~\math{2} niezależnie od strategii I~gracza). \stopanswer \stopitem \startitem Gra {\em parzyste czy nieparzyste} polega na tym, że dwóch graczy wybiera (równoczeÅnie) liczbÄ \math{1} lub~\math{2}. JeÅli suma wybranych liczb jest nieparzysta, wygrywa gracz~I; jeÅli jest parzysta, wygrywa gracz~II. Gracz, który przegraÅ, oddaje drugiemu kwotÄ równÄ sumie wybranych liczb. Narysujcie macierz tej gry. Jaka jest optymalna strategia każdego z~graczy? Czy gra jest sprawiedliwa? \startteacher To zadanie możemy opuÅciÄ lub omówiÄ pobieżnie bez wiÄkszej szkody. \stopteacher \startanswer Macierz: \startformula \startmathmatrix[n=2,left={\left(\,},right={\,\right)},align=right] \NC -2 \NC 3 \NR \NC 3 \NC -4 \NR \stopmathmatrix \stopformula Powyższa macierz nie ma strategii dominujÄ cych ani punktów siodÅowych, trzeba wiÄc zastosowaÄ innÄ metodÄ. ZaÅóżmy, że gracz~I wybiera~\math{1} z~prawdopodobieÅstwem~\math{p} i~\math{2} z~prawdopodobieÅstwem~\math{1-p}. Wyznaczymy~\math{p} tak, żeby gracz~I wygrywaÅ przeciÄtnie {\em tyle samo}, obojÄtnie, co zrobi gracz~II. JeÅli gracz~II wybierze~\math{1}, przeciÄtna wygrana~I wynosi \math{-2p+3(1-p)}. JeÅli II wybierze~\math{2}, przeciÄtna wygrana~I wynosi~\math{3p-4(1-p)}. Aby wartoÅci te byÅy równe, musi byÄ \math{p=\frac{7}{12}}. Zatem gracz~I powinien wybraÄ~\math{1} z~prawdopodobieÅstwem \math{\frac{7}{12}}, a~\math{2} z~prawdopodobieÅstwem~\math{\frac{5}{12}}. Jego przeciÄtna wygrana wynosi \math{-2\frac{7}{12}+3\frac{5}{12}=3\frac{7}{12}-4\frac{5}{12}=\frac{1}{12}}. ProwadzÄ c podobnÄ analizÄ dla gracza~II widzimy, że ta sama strategia pozwala mu uzyskaÄ przeciÄtnÄ stratÄ~\math{\frac{1}{12}}. Wynika stÄ d, że znalezionej strategii nie da siÄ ulepszyÄ, a~gra nie jest sprawiedliwa (preferuje I~gracza). \stopanswer \stopitem \startitem Rozważmy wariant gry {\em parzyste czy nieparzyste}, w~którym każdy z~graczy wybiera jednÄ z~liczb~\math{\{0,1,2\}}. Spróbujcie znaleÅºÄ optymalnÄ strategiÄ dla pierwszego gracza. \startteacher To zadanie opuszczamy, chyba że mamy grupÄ geniuszy. \stopteacher \startanswer Nie ma ani strategii dominujÄ cych, ani punktów siodÅowych. PostÄpujemy jak w~poprzednim Äwiczeniu; okazuje siÄ, że I~gracz powinien wybieraÄ~\math{1} z~prawdopodobieÅstwem~\math{\frac{1}{2}} i~pozostaÅe liczby z~prawdopodobieÅstwem~\math{\frac{1}{4}}. Uwaga: ta metoda {\em nie dziaÅa dla każdej macierzy}! \stopanswer \stopitem \stopexercises \stopchapter \startchapter[title={Nim-suma liczb caÅkowitych nieujemnych\time{10--15}}] \startteacher PojÄcia nim-sumy {\em nie bÄdzie} na wykÅadzie, trzeba je wprowadziÄ na Äwiczeniach. Jest to dziaÅanie w~zbiorze liczb caÅkowitych nieujemnych okreÅlone nastÄpujÄ co: aby wyliczyÄ nim-sumÄ dwóch liczb, przeliczamy je na ukÅad dwójkowy, dodajemy pisemnie bez przeniesienia (czyli cyfry na każdej pozycji {\em modulo}~\math{2}) i~wynik interpretujemy znów jako liczbÄ w~zapisie dwójkowym. PrzykÅad: \startformula 6\oplus 12=(110)_2\oplus(1100)_2=(1010)_2=10. \stopformula (Okazuje siÄ, że to dziaÅanie jest ÅÄ czne i~przemienne, elementem neutralnym jest~\math{0}, każdy element jest swojÄ przeciwnoÅciÄ , a~ponadto nim-suma ma fundamentalne znaczenie dla analizy gry {\em Nim} i~pewnych innych gier.) \stopteacher \startexercises \startitem Przeliczcie nastÄpujÄ ce liczby w~zapisie dwójkowym na system dziesiÄ tkowy: % \startsimplecolumns \startitemize[a,columns,two,joinedup][stopper=)] \startitem \math{(101)_2} \stopitem \startitem \math{(101011)_2} \stopitem \stopitemize % \stopsimplecolumns \startanswer \startitemize[a,text][stopper=] \startitem \math{(101)_2=2^0+2^2=1+4=5}; \stopitem \startitem \math{(101011)_2=1+2+8+32=43}. \stopitem \stopitemize \stopanswer \stopitem \startitem Przeliczcie nastÄpujÄ ce liczby na system dwójkowy: \startitemize[a,columns,two,joinedup][stopper=)] \startitem \math{10} \stopitem \startitem \math{77} \stopitem \stopitemize \startanswer \startitemize[a] \startitem \math{10=8+2=(1010)_2}; \stopitem \startitem Aby przeliczyÄ na system dwójkowy liczbÄ \math{77}, można np. dzieliÄ jÄ przez~\math{2} (z~resztÄ ) tak dÅugo, aż otrzymamy zero, a~reszty wypisywaÄ jako kolejne (od prawej strony) cyfry dwójkowe: \starttabulate[|r|] \NC \math{77:2=38~\text{r.}~1}\NR \NC \math{38:2=19~\text{r.}~0}\NR \NC \math{19:2=9~\text{r.}~1}\NR \NC \math{9:2=4~\text{r.}~1}\NR \NC \math{4:2=2~\text{r.}~0}\NR \NC \math{2:2=1~\text{r.}~0}\NR \NC \math{1:2=0~\text{r.}~1}\NR \stoptabulate Zatem \math{77=(1001101)_2}. \stopitem \stopitemize \stopanswer \stopitem \startitem Znajdźcie nastÄpujÄ ce nim-sumy: \startitemize[a,columns,two,joinedup,broad,intro][stopper=)] \startitem \math{18\oplus 0} \stopitem \startitem \math{13\oplus 13} \stopitem \startitem \math{10\oplus 77} \stopitem \startitem \math{10\oplus 6\oplus 12} \stopitem \stopitemize \startanswer \startitemize[a,text][stopper=] \startitem \math{18\oplus 0=18}; \stopitem \startitem \math{13\oplus 13=0}; \stopitem \startitem \math{10\oplus 77=71}; \stopitem \startitem \math{10\oplus 6\oplus 12=0} (ten przykÅad warto policzyÄ przynajmniej dwa razy, w~różnej kolejnoÅci!). \stopitem \stopitemize \stopanswer \stopitem \stopexercises \stopchapter \startchapter[title={Nim\time{20--25}}] \startsubject[title={Zasady gry}] Na trzech kupkach kÅadziemy kamienie (lub żetony, patyczki itp.). Gracze wykonujÄ ruchy na przemian. Ruch polega na zabraniu dowolnej liczby kamieni (co najmniej jednego, byÄ może wszystkich) z~dowolnej kupki. Gracz, który weźmie ostatni kamieÅ, wygrywa. \stopsubject \startsubject[title={Zadania}] \startexercises \startitem Rozegrajcie kilka partii (można zaczÄ Ä np. od kupek liczÄ cych \math{5}, \math{7} i~\math{9} kamieni). Czy potraficie odkryÄ, który gracz ma strategiÄ wygrywajÄ cÄ i~jak powinien graÄ, żeby wygraÄ? \stopitem \startitem Narysujcie graf {\em Nima} dla rozgrywki, która zaczyna siÄ od kupek o~liczebnoÅciach \math{1}, \math{1} i~\math{2}. (Wygodnie bÄdzie opisaÄ wierzchoÅki grafu trójkami liczb, np. \math{(1,1,2)}.) Znajdźcie N-pozycje i~P-pozycje. Przy każdej pozycji zapiszcie nim-sumÄ liczebnoÅci kupek. Czy zauważyliÅcie pewnÄ prawidÅowoÅÄ? \startteacher {\em N-pozycja} to pozycja, w~której {\em nastÄpny} gracz (czyli ten, czyja jest kolej) wygra, jeÅli bÄdzie graÄ prawidÅowo (obojÄtnie, co zrobi drugi gracz). {\em P-pozycja} to pozycja, w~której {\em poprzedni} gracz (czyli ten, który do niej doprowadziÅ) wygra, jeÅli bÄdzie graÄ prawidÅowo. MajÄ c graf gry N-pozycje i~P-pozycje znajduje siÄ \quotation{indukcjÄ wstecznÄ }: pozycje koÅcowe to P-pozycje, pozycje, z~których można dojÅÄ jednym ruchem do P-pozycji to N-pozycje, zaÅ pozycje, z~których {\em każdy} ruch prowadzi do N-pozycji to znów P-pozycje (w~szczególnoÅci warunek ten speÅniajÄ pozycje koÅcowe!). \stopteacher \startanswer \placefigure[none,middle]{}{% \starttikzpicture[x=2.5cm,y=-2cm] \def\pos#1#2#3#4#5{$(#1,#2,#3)^{#4}$\rlap{\!,\,#5}} \node (112) at (0,0) {\hphantom{\!,\,2}\pos112N2\hphantom{\!,\,2}}; \node (012) at (-1,1) {\pos012N3}; \node (102) at (0,1) {\pos102N3}; \node (111) at (1,1) {\pos111N1}; \node (002) at (-2,2) {\pos002N2}; \node (011) at (-1,2) {\pos011P0}; \node (101) at (1,2) {\pos101P0}; \node (110) at (2,2) {\pos110P0}; \node (001) at (-1,3) {\pos001N1}; \node (010) at (0,3) {\pos010N1}; \node (100) at (1,3) {\pos100N1}; \node (000) at (0,4) {\pos000P0}; \startscope[->] \draw (112) -- (012); \draw (112) -- (102); \draw (112) -- (111); \draw (112) -| (110); \draw (012) -- (002); \draw (012) -- (011); \draw (012) -- (010); \draw (102) -- (002); \draw (102) -- (101); \draw (102) -- (100); \draw (111) -- (011); \draw (111) -- (101); \draw (111) -- (110); \draw (002) -- (001); \draw (002) |- (000); \draw (011) -- (001); \draw (011) -- (010); \draw (101) -- (001); \draw (101) -- (100); \draw (110) -- (010); \draw (110) -- (100); \draw (001) -- (000); \draw (010) -- (000); \draw (100) -- (000); \stopscope \stoptikzpicture} P-pozycje to dokÅadnie te pozycje, dla których nim-suma liczebnoÅci kupek wynosi~\math{0}. \stopanswer \stopitem \startitem Który gracz ma strategiÄ wygrywajÄ cÄ , jeÅli poczÄ tkowe liczebnoÅci kupek wynoszÄ \math{(3,5,9)}? A~\math{(3,5,6)}? (W~jednej z~tych sytuacji pierwszy gracz wygrywa, o~ile bÄdzie graÅ prawidÅowo. Jaki powinien byÄ jego pierwszy ruch? Ile istnieje takich \quotation{wygrywajÄ cych} ruchów?) \startanswer \math{3\oplus 5\oplus 9=15\ne 0}, wiÄc jest to N-pozycja i~pierwszy gracz wygrywa. Ponieważ \math{3\oplus 5=6}, może wziÄ Ä \math{3}~kamienie z~trzeciej kupki (zostawiajÄ c na niej~\math{6}; przy okazji widaÄ, że \math{3,5,6} jest P-pozycjÄ i~gracz startujÄ cy z~niej przegrywa). Ponieważ \math{3\oplus 9=10>5}, zabranie żadnej liczby kamieni z~drugiej kupki nie pozwala wygraÄ pierwszemu graczowi; analogicznie jest z~pierwszÄ kupkÄ (\math{5\oplus 9=12>3}). Zatem jedyny wygrywajÄ cy ruch to zabranie \math{3}~kamieni z~trzeciej kupki. \stopanswer \stopitem \startitem WymyÅlcie kilka wariantów {\em Nima}; sprawdźcie, jak siÄ w~nie gra. \startanswer Można zwiÄkszyÄ liczbÄ kupek, wprowadziÄ minimalnÄ lub maksymalnÄ liczbÄ kamieni, jakie można zabraÄ w~jednym ruchu, zmieniÄ warunek wygranej na przeciwny (przegrywa gracz, który weźmie ostatni kamieÅ) i~in. (Jeden z~wariantów {\em Nima}, {\em Wythoff}, jest przedmiotem kolejnego zadania.) \stopanswer \stopitem \stopexercises \stopsubject \stopchapter \startchapter[title={Wythoff\time{20--30}}] \startsubject[title={Zasady gry}] Gra przebiega podobnie jak {\em Nim}, z~dwiema różnicami: sÄ tylko dwie kupki kamieni, ale oprócz zabrania dowolnej liczby kamieni z~wybranej kupki można też zabraÄ dowolnÄ liczbÄ kamieni z~{\em obu} kupek na raz, pod warunkiem, że weźmiemy ich {\em tyle samo} z~każdej z~nich. \stopsubject \startsubject[title={Zadania}] \startexercises \startitem Rozegrajcie kilka partii (dla różnych liczebnoÅci poczÄ tkowych kupek). Jakimi wynikami może siÄ zakoÅczyÄ {\em Wythoff}? \startanswer WygranÄ któregoÅ z~graczy\ppauza remis jest niemożliwy. \stopanswer \stopitem \startitem[2] Znajdźcie przykÅadowe P-pozycje i N-pozycje. \startanswer PrzykÅadowe P-pozycje: \math{(1,2)}, \math{(3,5)}. PrzykÅadowe N-pozycje: \math{(0,n)}, \math{(n,n)}, \math{(1,966)}. \stopanswer \stopitem \startitem[3] Rozważmy nastÄpujÄ cÄ grÄ. Na pewnym polu szachownicy ustawiamy pionek. W~każdym ruchu można przesunÄ Ä go o~dowolnÄ liczbÄ pól w~dóÅ, w~lewo bÄ dź ukosem w~lewo-dóÅ. Zauważcie, że gra ta w~istocie nie różni siÄ od {\em Wythoffa}. \stopitem \startitem Naszkicujcie graf {\em Wythoffa} dla gry rozpoczynajÄ cej siÄ od kupek liczÄ cych \math{1} i~\math{2} kamieni. \startanswer \starttikzpicture[x=3cm,y=1cm,baseline=(01.base)]%{($(0,1)-(0,.5ex)$)}] \def\pos#1#2#3{\math{(#1,#2)^{#3}}} \node (00) at (0,0) {\pos00P}; \node (10) at (1,0) {\pos10N}; \node (20) at (2,0) {\pos20N}; \node (01) at (0,1) {\pos01N}; \node (11) at (1,1) {\pos11N}; \node (21) at (2,1) {\pos21P}; \startscope[->] \draw (21) -- (11); \draw (21) -- +(0,.5) -| (01); \draw (21) -- (10); \draw (21) -- (20); \draw (11) -- (01); \draw (11) -- (00); \draw (11) -- (10); \draw (01) -- (00); \draw (20) -- (10); \draw (20) -- +(0,-.5) -| (00); \draw (10) -- (00); \stopscope \stoptikzpicture \stopanswer \stopitem \startitem Opiszcie ukÅady poczÄ tkowe, które gwarantujÄ wygranÄ II~graczowi (czyli P-pozycje). \startanswer Uwaga: poniższe rozumowanie lepiej widaÄ na obrazku (odrÄcznie). Oprócz tych wymienionych w~odpowiedzi do \in{punktu}{.}[2], ukÅady takie to m.in. \math{(4,7)}, \math{(6,10)} itd. Każdy taki ukÅad powstaje z~poprzedniego w~nastÄpujÄ cy sposób: bierzemy najmniejszÄ liczbÄ naturalnÄ ~\math{n_1}, która dotÄ d nie wystÄ piÅa w~żadnym ukÅadzie\ppauza bÄdzie to liczba kamieni w~mniejszej kupce; w~wiÄkszej kupce bÄdzie \math{n_2=n_1+d} kamieni, gdzie różnica~\math{d} jest o~jeden wiÄksza niż różnica liczebnoÅci kupek w~poprzednim ukÅadzie. Takie pary liczb majÄ odpowiednie wÅasnoÅci. Po pierwsze, nie można (zabierajÄ c kamienie zgodnie z~zasadami) przejÅÄ od żadnego z~tych ukÅadów do żadnego z~poprzednich: ponieważ każda liczba naturalna wystÄpuje wÅród opisanych ukÅadów dokÅadnie raz (dlaczego?), zabierajÄ c kamienie z~{\em jednej} kupki nie jesteÅmy w~stanie przejÅÄ do jednego z~poprzednich ukÅadów; ponieważ zaÅ {\em różnice} również siÄ nie powtarzajÄ , zabierajÄ c kamienie z~{\em obu} kupek również nie dojdziemy do żadnego z~poprzednich ukÅadów. Po drugie, jeÅli startujemy z~ukÅadu innego niż któryÅ z~powstaÅych w~opisany sposób, zawsze możemy dojÅÄ do któregoÅ z~nich; najÅatwiej zobaczyÄ to rysujÄ c je na szachownicy i~korzystajÄ c z~wersji {\em Wythoffa} opisanej w~\in{punkcie}[3]. WÅasnoÅci te powodujÄ , że każdy z~opisanych ukÅadów prowadzi do wygranej gracza, którego ruch akurat przypada, a~każdy inny ukÅad do jego przegranej. \stopanswer \stopitem \stopexercises \stopsubject \stopchapter \startchapter[title={Hex\time{15--20}}] \startsubject[title={Zasady gry}] Gra toczy siÄ na planszy w~ksztaÅcie rombu zÅożonej z~pól w~ksztaÅcie szeÅciokÄ tów foremnych; boki rombu sÄ oznaczone kolorem biaÅym bÄ dź czarnym tak, że przeciwlegÅe boki majÄ ten sam kolor. Gracze na przemian zagrywajÄ swoje piony (gracz~I biaÅe, gracz~II czarne) na tych polach; raz poÅożony na planszy pion pozostaje w~tym samym miejscu do koÅca gry. Wygrywa ten z~graczy, który poÅÄ czy boki rombu w~\quotation{swoim} kolorze ÅaÅcuchem swoich pionów (tj. ciÄ giem pionów leÅ¼Ä cych na polach stykajÄ cych siÄ bokami). \def\hexboard#1#2{% \coordinate (w) at (1,0); \coordinate (e) at ($(2,0)+#1*(3,0)$); \coordinate (n) at ($(0,1.155)+(1.5,-0.866)+#1*(1.5,0.866)$); \coordinate (s) at ($(0,-1.155)+(1.5,0.866)+#1*(1.5,-0.866)$); \coordinate (c) at ($(1.5,0)+#1*(1.5,0)$); \filldraw[fill=black!40] (w) -- (c) -- (n) -- cycle; \filldraw[fill=black!40] (s) -- (c) -- (e) -- cycle; \filldraw[fill=white] (w) -- (c) -- (s) -- cycle; \filldraw[fill=white] (n) -- (c) -- (e) -- cycle; \foreach \ROW in {1,...,#1} \foreach \COL in {1,...,#1} { \filldraw[fill=white, shift={($\ROW*(30:1.732)+\COL*(-30:1.732)$)}] (0:1) -- (60:1) -- (120:1) -- (180:1) -- (240:1) -- (300:1) -- cycle; } \foreach \ROW in {1,...,#1} \node at ($\ROW*(30:1.732)+(-30:1.732)+(150:1.732)$) {\switchtobodyfont[#2]\Characters{\ROW}}; \foreach \COL in {1,...,#1} \node at ($\COL*(-30:1.732)+(30:1.732)+(-150:1.732)$) {\switchtobodyfont[#2]\COL}; } \placefigure[none,middle]{}{% \starttikzpicture[scale=0.5] \hexboard{5}{6pt} \stoptikzpicture} \stopsubject \startsubject[title={Zadania}] \startexercises \startitem Rozegrajcie kilka partii na planszach różnych wymiarów (\math{2\times 2}, \math{3\times 3}, \math{4\times 4}, \math{5\times 5}). Który gracz ma strategiÄ wygrywajÄ cÄ na maÅych planszach? \stopitem \startitem Jakimi wynikami może skoÅczyÄ siÄ {\em Hex}? \startanswer WygranÄ któregoÅ z~graczy\ppauza remis jest niemożliwy. \stopanswer \stopitem \startitem Udowodnijcie, że pierwszy gracz ma strategiÄ wygrywajÄ cÄ na planszy dowolnego rozmiaru. \startanswer Można zastosowaÄ rozumowanie zwane {\em kradzieÅ¼Ä strategii}. Gdyby to {\em drugi gracz} miaÅ strategiÄ wygrywajÄ cÄ (czyli miaÅ {\em optymalnÄ } odpowiedź na każdy ruch pierwszego, prowadzÄ cy do wygranej), pierwszy gracz mógÅby zrobiÄ pierwszy ruch dowolnie, a~potem \quotation{zapomnieÄ} o~nim i~traktowaÄ odpowiedź drugiego jako \quotation{pierwszy} ruch i~stosowaÄ wygrywajÄ cÄ strategiÄ (jako \quotation{drugi} gracz). Gdyby strategia ta wymagaÅa postawienia pionu tam, gdzie gracz ten już postawiÅ swój pion (np. w~pierwszym ruchu), można postawiÄ pion gdziekolwiek. Ponieważ stojÄ cy gdzieÅ pion pierwszego gracza w~niczym nie może {\em pogorszyÄ} jego sytuacji, opisane postÄpowanie prowadzi do wygranej pierwszego gracza, wbrew zaÅożeniu, że to drugi ma strategiÄ wygrywajÄ cÄ . \stopanswer \stopitem \startitem Który gracz ma strategiÄ wygrywajÄ cÄ na planszy \math{3\times 3}, jeÅli biaÅe nie mogÄ w~pierwszym ruchu zagraÄ na Årodku planszy? \startteacher Zadanie otwarte, do dyskusji/eksperymentów. \stopteacher \stopitem \stopexercises \stopsubject \stopchapter \startchapter[title={ZakreÅl do piÄtnastu\time{15--20}}] \startsubject[title={Zasady gry}] Wypisujemy na kartce liczby od~\math{1} do~\math{9}. Gracze na przemian zakreÅlajÄ liczbÄ (każdy swoim kolorem). Gracz, który jako pierwszy wÅród \quotation{swoich} liczb bÄdzie miaÅ trójkÄ liczb, których suma wynosi~\math{15}, wygrywa. \stopsubject \startsubject[title={Zadania}] \startexercises \startitem Jakimi wynikami może zakoÅczyÄ siÄ gra? \startanswer WygranÄ jednego z~graczy lub remisem. \stopanswer \stopitem \startitem Rozegrajcie kilka\ppauza kilkanaÅcie gier. Czy pierwszy gracz może zawsze wygraÄ? A~drugi? \startanswer Nie, gdy obaj gracze grajÄ optymalnie, gra koÅczy siÄ remisem. (OptymalnÄ strategiÄ zobaczymy za chwilÄ.) \stopanswer \stopitem \startitem Wypiszcie wszystkie trójki liczb ze zbioru \math{\{1,2,\dots,9\}}, które sumujÄ siÄ do~\math{15}. Jak wypisaÄ je \quotation{po kolei}, czyli tak, by żadnej nie pominÄ Ä i~żadnej nie wypisaÄ wiÄcej niż jeden raz? Ile ich jest? Które liczby ile razy wystÄpujÄ w~tych trójkach? \startanswer \math{(1,5,9)}, \math{(1,6,8)}, \math{(2,4,9)}, \math{(2,5,8)}, \math{(2,6,7)}, \math{(3,4,8)}, \math{(3,5,7)}, \math{(4,5,6)}. Każda trójka wypisana jest rosnÄ co i~wypisane sÄ w~porzÄ dku leksykograficznym. Trójek jest \math{8}, a~poszczególne liczby wystÄpujÄ w~nich: \math{5} czterokrotnie, \math{2,4,6,8} trzykrotnie, \math{1,3,7,9} dwukrotnie. \stopanswer \stopitem \startitem Jak uÅożyÄ liczby od \math{1} do~\math{9}, żeby byÅo Åatwiej graÄ, tj. żeby trójki sumujÄ ce siÄ do~\math{15} byÅy \quotation{dobrze widoczne}? \startanswer UÅożenie ich np. w~nastÄpujÄ cym {\em kwadracie magicznym} \starttabulate[|c|c|c|][before={},after={}] \NC 2 \NC 9 \NC 4 \NC\NR \NC 7 \NC 5 \NC 3 \NC\NR \NC 6 \NC 1 \NC 8 \NC\NR \stoptabulate pokazuje, że rozważana gra jest to po prostu {\em KóÅko i~krzyżyk} w~przebraniu. \stopanswer \stopitem \stopexercises \stopsubject \stopchapter \startchapter[title={KóÅko i~krzyżyk\time{15--20}}] \startsubject[title={Zasady gry}] Znane każdemu (?). \stopsubject \startsubject[title={Zadania}] \startexercises \startitem Jakie sÄ możliwe wyniki w~grze w~{\em KóÅko i~krzyżyk}? \startanswer Wygrana jednego z~graczy lub remis. \stopanswer \stopitem \startitem Narysujcie dwa poczÄ tkowe poziomy drzewa gry. Narysujcie jednÄ lub dwie gaÅÄzie aż do zakoÅczenia gry. \startanswer (odrÄcznie) \stopanswer \stopitem \startitem Oszacujcie liczbÄ możliwych rozgrywek w~{\em KóÅko i~krzyżyk}. \startanswer \startitemize[a,packed][stopper=)] \startitem Prostym ograniczeniem górnym jest \math{9!=362\,880}. \stopitem \startitem JeÅli wziÄ Ä pod uwagÄ symetrie w~poczÄ tkowych dwóch ruchach (w~późniejszych ruchach staje siÄ to bardziej skomplikowane), można postÄpowaÄ nastÄpujÄ co. Pierwszy ruch można wykonaÄ na \math{3} sposoby (Årodek, róg, bok). JeÅli pierwszy ruch byÅ w~Årodku, drugi ruch może zostaÄ wykonany na \math{2} sposoby; jeÅli w~rogu lub na boku, na \math{5} sposobów. Zatem pierwsze dwa ruchy można wykonaÄ na \math{1\cdot 2+2\cdot 5=12} sposobów, a~pozostaÅe siedem na nie wiÄcej niż \math{7!=5040} sposobów; zatem wszystkich gier może byÄ najwyżej \math{12\cdot 7!=60\,480}. \stopitem \startitem JeÅli wziÄ Ä pod uwagÄ symetrie do trzeciego ruchu, analogiczne rozumowanie pokazuje, że liczba możliwych rozgrywek nie przekracza \startformula (2\cdot4+2\cdot4+3\cdot7)\cdot 6!=30\,960. \stopformula \stopitem \startitem Powyższa analiza nie bierze pod uwagÄ ani możliwych symetrii w~dalszych ruchach, ani tego, że niektóre gry koÅczÄ siÄ przed zapeÅnieniem planszy. W~2002 roku obliczono, że dokÅadna liczba rozgrywek w~{\em kóÅko i~krzyżyk} wynosi \math{26\,830}. \stopitem \stopitemize \stopanswer \stopitem \startitem Rozegrajcie kilka gier. Co powinien zrobiÄ pierwszy gracz? Jaki ruch pierwszego gracza {\em gwarantuje} mu wygranÄ , niezależnie od tego, jak gra drugi gracz? A~jaki {\em gwarantuje} przegranÄ , jeÅli drugi gracz gra optymalnie? \startanswer ObojÄtnie, co zrobi pierwszy gracz w~pierwszym ruchu, jeÅli w~dalszym ciÄ gu bÄdzie graÅ optymalnie, nie przegra; jednak żaden ruch nie gwarantuje mu wygranej. (Nie bÄdziemy tego rozpisywaÄ/dowodziÄ.) \stopanswer \stopitem \startitem Jak wyglÄ da macierz gry w~{\em KóÅko i~krzyżyk}? \startanswer \quotation{Strategiami} każdego z~graczy bÄdÄ funkcje, które każdej {\em sytuacji} na planszy przyporzÄ dkowujÄ {\em ruch}. OczywiÅcie, różne ukÅady strategii I i~II gracza bÄdÄ prowadziÄ do różnych wyników gry. \stopanswer \stopitem % \startitem % Opiszcie wÅasnoÅci gry w~kóÅko i~krzyżyk. % \startanswer % Jest dwóch graczy; gracze wykonujÄ ruchy kolejno, a~nie % jednoczeÅnie (chyba, że przez \quotation{ruch} bÄdziemy % rozumieÄ \quotation{wybór strategii} (w~sensie poprzedniego % zadania)); gracze dysponujÄ peÅnÄ informacjÄ ; gra koÅczy siÄ % po skoÅczenie wielu ruchach (maksymalnie dziewiÄciu); % \stopanswer % \stopitem \startitem Opiszcie optymalnÄ strategiÄ w~{\em KóÅko i~krzyżyk} dla I i~II gracza. \startanswer Oto przykÅadowy zapis strategii optymalnej (co ciekawe, dziaÅajÄ cy dla każdego gracza). W~każdej sytuacji należy sprawdzaÄ, czy kolejne punkty majÄ zastosowanie, i~jeÅli tak, wykonaÄ opisanÄ w~nich akcjÄ. \startitemize[a,packed][stopper=)] \startitem[a] JeÅli masz dwa symbole w~rzÄdzie, a~trzecie miejsce jest puste, zakreÅl to puste miejsce; {\em wygrywasz}. \stopitem \startitem JeÅli przeciwnik ma dwa symbole w~rzÄdzie, a~trzecie miejsce jest puste, zakreÅl to puste miejsce. \stopitem \startitem JeÅli możesz, stwórz {\em zagrożenie}, czyli sytuacjÄ, w~której masz {\em dwa} rzÄdy z~dwoma swoimi symbolami i~trzecim pustym miejscem. \stopitem \startitem JeÅli w~nastÄpnym ruchu przeciwnik bÄdzie w~stanie utworzyÄ {\em zagrożenie}, utwórz sytuacjÄ opisanÄ w~\in{punkcie}{)}[a]. \stopitem \startitem JeÅli Årodek jest wolny, zagraj w~nim. \stopitem \startitem JeÅli przeciwnik zagraÅ w~narożniku i~przeciwlegÅy narożnik jest wolny, zagraj w~nim. \stopitem \startitem JeÅli którykolwiek narożnik jest wolny, zagraj w~nim. \stopitem \startitem Zagraj gdziekolwiek. \stopitem \stopitemize \stopanswer \stopitem \startitem WymyÅlcie kilka wariantów {\em KóÅka i~krzyżyka}. \startanswer Do znanych wariantów naleÅ¼Ä np. {\em KóÅko i~krzyżyk} na planszy \math{4\times 4} (do wygranej trzeba mieÄ \math{4} swoje symbole w~wierszu, kolumnie lub na przekÄ tnej), {\em gomoku} (do wygranej trzeba mieÄ \math{5} symboli, plansza ma rozmiar \math{19\times19}), {\em KóÅko i~krzyżyk} trójwymiarowe (i~w~wyższych wymiarach), {\em Anty-kóÅko i~krzyżyk}, gdzie gracz, który ma trzy symbole w~rzÄdzie, przegrywa, {\em kwantowe KóÅko i~krzyżyk} i~wiele innych. \stopanswer \stopitem \stopexercises \stopsubject \stopchapter \startchapter[title={KieÅki\time{10--15}}] \startsubject[title={Zasady gry}] Na kartce rysujemy cztery kropki (lub innÄ ich liczbÄ). Gracze wykonujÄ ruchy na przemian. Ruch polega na poÅÄ czeniu dwóch wybranych kropek liniÄ i~narysowaniu na tej linii (ale nie na żadnym z~koÅców) kolejnej kropki, przy czym należy przestrzegaÄ nastÄpujÄ cych dwóch zasad: \startitemize[r,text][stopper=] \startitem linie nie mogÄ siÄ przecinaÄ, \stopitem \startitem[kielki2] z~jednej kropki mogÄ wychodziÄ co najwyżej trzy linie. \stopitem \stopitemize Gracz, który nie może wykonaÄ ruchu zgodnie z~tymi zasadami, przegrywa. \stopsubject \startsubject[title={Zadania}] \startexercises \startitem Rozegrajcie kilka partii. Czy potraficie graÄ tak, żeby gra siÄ {\em nie} skoÅczyÅa? \stopitem \startitem Udowodnijcie, że gra w~{\em KieÅki} zawsze koÅczy siÄ po skoÅczenie wielu ruchach. \startanswer Na poczÄ tku jest \math{4\times 3=12} możliwych koÅców linii, bo z~każdej z~\math{4} kropek mogÄ wychodziÄ maksymalnie~\math{3} linie. W~każdym ruchu, rysujÄ c liniÄ, zmniejszamy tÄ liczbÄ o~\math{2} (\quotation{wykorzystujemy} dwa możliwe koÅce) i~zwiÄkszamy o~\math{1} (bo dorysowana kropka może byÄ koÅcem tylko dla jednej linii, zgodnie z~\in{zasadÄ }[kielki2]). \stopanswer \stopitem \stopexercises \stopsubject \stopchapter \startchapter[title={Gry w~koÅci\time{10--20}}] \startexercises \startitem Rozważmy nastÄpujÄ cÄ grÄ. Rzucamy koÅciÄ (symetrycznÄ , szeÅciennÄ ), po czym, jeÅli chcemy, rzucamy ponownie (ale najwyżej raz). \startitemize[a,packed][stopper=)] \startitem Jak bÄdzie wyglÄ daÅa macierz tej gry? \startanswer W~wierszach bÄdÄ znajdowaÄ siÄ {\em strategie gracza}, czyli \quotation{przepisy} okreÅlajÄ ce sposób postÄpowania (tj. czy przerzucamy koÅÄ czy nie) dla każdego wyniku pierwszego rzutu. W~kolumnach bÄdÄ znajdowaÄ siÄ {\em strategie przyrody}, czyli wyniki dwóch kolejnych rzutów koÅciÄ . \stopanswer \stopitem \startitem Ile jest możliwych strategii gracza, a~ile przyrody w~tej grze? \startanswer Gracz ma \math{2^6=64} strategie: dla każdego z~szeÅciu możliwych wyników niezależnie okreÅlamy, czy przerzucamy koÅÄ, czy nie (zasada mnożenia lub wariacje z~powtórzeniami\ppauza szeÅÄ razy wybieramy niezależnie jednÄ z~dwóch możliwoÅci). Przyroda ma \math{6^2=36} strategii. \stopanswer \stopitem \startitem Rozważmy nastÄpujÄ cÄ strategiÄ: \quotation{jeÅli wypadnie \math{k} lub mniej oczek, przerzucamy koÅÄ, w~przeciwnym wypadku pozostajemy przy wyniki pierwszego rzutu}. Jakie powinno byÄ \math{k}, aby wartoÅÄ oczekiwana wyniku byÅa najwiÄksza? \startanswer WartoÅÄ oczekiwana wynosi \startformula k(\tfrac{1}{6^2}1+\cdots+\tfrac{1}{6^2}6) +\bigl(\tfrac{1}{6}(k+1)+\cdots+\tfrac{1}{6}6\bigr) =\tfrac{1}{12}(-k^2+6k+42), \stopformula a~wiÄc osiÄ ga maksimum dla \math{k_{\rm max}=3}. \stopanswer \stopitem \stopitemize \stopitem \startitem Rozważmy podobnÄ grÄ, w~której można przerzuciÄ koÅÄ co najwyżej dwa razy. \startitemize[a,packed][stopper=)] \startitem Ile jest możliwych strategii gracza w~tej grze? \startanswer Po pierwszym rzucie mamy tym razem nie dwie możliwoÅci (pozostanie bÄ dź przerzucenie), ale \math{1+2^6} możliwoÅci: pozostanie (jeden sposób) bÄ dź kontynuacja (\math{2^6} sposobów na mocy poprzedniego zadania). Ponieważ dalsze postÄpowanie okreÅlamy niezależnie dla każdego z~szeÅciu wyników, analogicznie jak poprzednio mamy \startformula (1+2^6)^6=75\,418\,890\,625 \stopformula możliwych strategii. \stopanswer \stopitem \startitem Która strategia jest korzystniejsza (daje wiÄkszÄ wartoÅÄ oczekiwanÄ ): \quotation{rzucamy tak dÅugo, aż wypadnie wiÄcej niż \math{3} oczka, ale nie wiÄcej niż trzy razy}, czy \quotation{jeÅli w~pierwszym rzucie wypadÅa szóstka, pozostajemy przy tym wyniku, w~przeciwnym przypadku rzucamy drugi raz; jeÅli wówczas wypadnie wiÄcej niż trzy oczka, pozostajemy przy tym wyniku, a~jeÅli nie, rzucamy po raz ostatni}? \startanswer Pierwsza strategia daje wartoÅÄ oczekiwanÄ \math{4\frac{5}{8}=4{,}625}, zaÅ druga \math{4\frac{13}{24}\approx 4{,}542}. \stopanswer \stopitem \stopitemize \stopitem \startitem Rozważmy nastÄpujÄ cÄ grÄ: rzucamy parÄ koÅci, po czym możemy raz przerzuciÄ jednÄ , drugÄ lub obie koÅci. Wynikiem jest suma oczek na obu koÅciach, chyba, że wypadÅy dwie szóstki, wówczas wynik wynosi zero. JakÄ zaproponowalibyÅcie strategiÄ w~tej grze? \startanswer Pytanie otwarte, nie jesteÅmy w~stanie Åatwo wyliczyÄ strategii maksymalizujÄ cej wartoÅÄ oczekiwanÄ wyniku w~tej grze. Warto przedyskutowaÄ kilka problemów zwiÄ zanych z~tÄ grÄ , np. liczbÄ możliwych strategii (można przyjÄ Ä, że koÅci sÄ rozróżnialne lub nie!), sposób postÄpowania, gdy wypadnie jedna szóstka (np. gdy przerzucimy tylko drugÄ koÅÄ, wartoÅÄ oczekiwana wyniesie \startformula \tfrac{1}{6}(6+1)+\cdots+\tfrac{1}{6}(6+5)+\tfrac{1}{6}\cdot0 =7\tfrac{1}{2}\text{,} \stopformula wiÄc jeÅli na drugiej koÅci wypadÅo wiÄcej niż~\math{1}, nie warto jej przerzucaÄ), wariant, w~którym za dwie szóstki otrzymujemy \math{-6} punktów. \stopanswer \stopitem \stopexercises \stopchapter \startchapter[title={Projektowanie wÅasnej gry\time{reszta czasu, \hskip 0pt plus 4em\penalty20\hskip 0pt plus -4em\relax 20--60}}] \startsubject[title={PoczÄ tkowe zasady gry}] Gracze sÄ wÅaÅcicielami fabryk znajdujÄ cych siÄ nad rzekÄ . Produkcja jest zwiÄ zana z~powstawaniem odpadów, które wÅaÅciciele wylewajÄ do rzeki. Gdy poziom zanieczyszczeÅ okaże siÄ zbyt duży, nastÄpuje kontrola i~wszystkie fabryki zostajÄ zamkniÄte. Wygrywa ten, który zdoÅaÅ do tego momentu wyprodukowaÄ najwiÄcej (zarobiÄ najwiÄcej pieniÄdzy). We wspólnej puli kÅadziemy kamienie (patyczki, sztony...) w~liczbie dziesiÄciokrotnie wiÄkszej od liczby graczy. Gracze kolejno rzucajÄ kostkÄ . Po rzucie każdy gracz zabiera tyle kamieni, ile wyrzuciÅ oczek. Gdy kamienie siÄ skoÅczÄ , wygrywa gracz, który zebraÅ ich najwiÄcej. \stopsubject \startsubject[title={Zadania}] \startexercises[2*broad] \startitem WymyÅlcie tytuÅ dla tej gry. \stopitem \startitem Powyższe zasady zawierajÄ pewnÄ niejasnoÅÄ. Znajdźcie jÄ . \startanswer Nie wiadomo, co zrobiÄ, gdy gracz koÅczÄ cy grÄ ma wziÄ Ä {\em wiÄcej} kamieni, niż pozostaÅo w~puli: czy powinien wziÄ Ä tyle, ile ich tam jest, czy wpierw uzupeÅniÄ pulÄ odpowiedniÄ liczbÄ kamieni i~wziÄ Ä tyle, ile wskazuje kostka. \stopanswer \stopitem \startitem Czy ta gra zawsze siÄ skoÅczy? Jaka jest minimalna, Årednia i~maksymalna liczba ruchów? \startanswer Tak\ppauza jest skoÅczenie wiele kamieni, w~każdym ruchu zabiera siÄ co najmniej jeden. Najmniej ruchów bÄdzie, gdy wszyscy bÄdÄ wyrzucali szóstki: \math{\lceiling 10n/6\rceiling}, gdzie \math{n} to liczba graczy. NajwiÄcej ruchów (\math{10n}) bÄdzie, gdy wszyscy bÄdÄ wyrzucali jedynki. Årednio bÄdzie \math{\lceiling 10n/3{,}5\rceiling} ruchów. \stopanswer \stopitem \startitem Powyżej opisana gra jest bardzo nudna. Dlaczego? \startanswer Ponieważ gracze nie podejmujÄ Å¼adnych decyzji, wszystko rozstrzygajÄ rzuty koÅÄmi. \stopanswer \stopitem \startitem Jak można ulepszyÄ tÄ grÄ? \startanswer Oto (otwarta) lista pomysÅów (niektóre z~nich sÄ {\em zÅe}, ale niech uczniowie sami do tego dojdÄ !). Warto zwróciÄ uwagÄ, że {\em dobry} pomysÅ oznacza nie tylko, że gra staje siÄ interesujÄ ca (trzeba podejmowaÄ nieÅatwe decyzje, zdarzajÄ siÄ nieoczekiwane zwroty akcji itp.), ale też ma uzsadanienie w~fabule gry. Każdy pomysÅ wymaga też sprawdzenia\ppauza przetestowania na kilku (w~rzeczywistoÅci kilkudziesiÄciu czy kilkuset) rozgrywkach i~ewentualnej modyfikacji (a~czasem porzucenia). \startitemize[packed] \startitem Zmiana liczby kamieni. \stopitem \startitem Zmiana liczby koÅci (np. każdy gracz rzuca trzema koÅÄmi). \stopitem \startitem MożliwoÅÄ kilkukrotnego (np. trzykrotnego) powtórzenia rzutu wybranymi koÅÄmi. \stopitem \startitem Zabieranie kamieni w~innej liczbie niż wynik na kostce (lub suma wyników): można rozważyÄ iloczyn, kwadrat lub pierwiastek sumy, sumÄ różnic miÄdzy wynikami lub jeszcze innÄ funkcjÄ. (Niektóre funkcje nadajÄ siÄ do tego kiepsko, np. kwadrat sumy prowadzi do doÅÄ dużych liczb, co jest niewygodne.) \stopitem \startitem Wprowadzenie ukÅadów {\em bonusowych}, np. dwa lub trzy identyczne wyniki lub trzy kolejne liczby naturalne na kostkach mogÄ daÄ efekt specjalny (np. odebranie zebranych kamieni \ppauza w~ustalonej liczbie, np. zależnej od liczby oczek\ppauza innym graczom, zmuszenie innych graczy do oddania kamieni do puli i~in.) \stopitem \startitem Wprowadzenie ukÅadów {\em malusowych}, np. każda szóstka może oznaczaÄ koniecznoÅÄ oddania do puli lub innym graczom pewnej liczby kamieni itp. \stopitem \startitem Gracze mogÄ wykonywaÄ ruchy równoczeÅnie zamiast kolejno. (Trzeba ustaliÄ, jak wtedy postÄpowaÄ, jeÅli w~trakcie ruchu skoÅczÄ siÄ kamienie w~puli, oraz jakie dokÅadnie informacje sÄ jawne dla pozostaÅych graczy w~czasie ruchu.) \stopitem \startitem Można zmieniÄ warunki zwyciÄstwa, np. wygrywaÄ może gracz, który zebraÅ najwiÄcej kamieni, ale z~wyÅÄ czeniem tego, który spowodowaÅ wyczerpanie puli. \stopitem \startitem Przy jednym rodzaju kamieni zarobione pieniÄ dze i~usuniÄte zanieczyszczenia wyrażajÄ siÄ tÄ samÄ liczbÄ . Można wprowadziÄ dwa rodzaje kamieni i~zróżnicowaÄ te liczby, ustalajÄ c, że np. \math{n} zanieczyszczeÅ jest zwiÄ zane z~zarobieniem \math{n^2}, \math{\sqrt{n}} lub innÄ iloÅciÄ pieniÄdzy. \stopitem \stopitemize \stopanswer \stopitem \stopexercises \stopsubject \stopchapter \startnotmode[nauczyciel] \page \setuppagenumber[state=stop] \midaligned{% \starttikzpicture[scale=1.8,rotate=-30] \hexboard{2}{10pt} \stoptikzpicture } \par\blank[6*big] \midaligned{% \starttikzpicture[scale=1.8,rotate=-30] \hexboard{3}{10pt} \stoptikzpicture } \page \midaligned{% \starttikzpicture[scale=1.8,rotate=60] \hexboard{4}{10pt} \stoptikzpicture } \page \centerbox{% \starttikzpicture[scale=1.8,rotate=60] \hexboard{5}{10pt} \stoptikzpicture } \stopnotmode \stoptext
___________________________________________________________________________________ If your question is of interest to others as well, please add an entry to the Wiki! maillist : ntg-context@ntg.nl / http://www.ntg.nl/mailman/listinfo/ntg-context webpage : http://www.pragma-ade.nl / http://tex.aanhet.net archive : http://foundry.supelec.fr/projects/contextrev/ wiki : http://contextgarden.net ___________________________________________________________________________________