Re: Quem á maior???
Marcelo Souza escreveu: > > Olá pessoal, > >Este problema aki eu naum tenho a mínima idéia de como resolvê-lo. se > alguem puder ajudar: > Quem é maior 1000^1000 ou 1001^999? > obrigado > abraços > marcelo > > __ > Get Your Private, Free Email at http://www.hotmail.com Vamos dividi-los para ver se dá maior que 1. 1001^999 / 1000^1000 = [(1001/1000)^1000]/1001 = [(1+0,001)^1000]/1001. O numerador da fração é o milésimo termo da famosa sequencia crescente cujo limite é o número e. Portanto a fração é menor que e/1001 e é muito menor que 1. Logo 1001^999 é o maior.
Re: Quem a maior???
At 10:00 06/02/00 -0200, you wrote: >Marcelo Souza escreveu: >> >> Olá pessoal, >> >>Este problema aki eu naum tenho a mínima idéia de como resolvê-lo. se >> alguem puder ajudar: >> Quem é maior 1000^1000 ou 1001^999? >> obrigado >> abraços >> marcelo >> >> __ >> Get Your Private, Free Email at http://www.hotmail.com >Vamos dividi-los para ver se dá maior que 1. >1001^999 / 1000^1000 = [(1001/1000)^1000]/1001 = [(1+0,001)^1000]/1001. >O numerador da fração é o milésimo termo da famosa sequencia crescente >cujo limite é o número e. Portanto a fração é menor que e/1001 e é muito >menor que 1. > >Logo 1001^999 é o maior. Mas, se a fração é menor que 1, então o denominador 1000^1000 é maior!! Bruno F.C. Leite
Re: Quem a maior???
Bruno Leite escreveu: > > At 10:00 06/02/00 -0200, you wrote: > >Marcelo Souza escreveu: > >> > >> Olá pessoal, > >> > >>Este problema aki eu naum tenho a mínima idéia de como > resolvê-lo. se > >> alguem puder ajudar: > >> Quem é maior 1000^1000 ou 1001^999? > >> obrigado > >> abraços > >> marcelo > >> > >> __ > >> Get Your Private, Free Email at http://www.hotmail.com > >Vamos dividi-los para ver se dá maior que 1. > >1001^999 / 1000^1000 = [(1001/1000)^1000]/1001 = [(1+0,001)^1000]/1001. > >O numerador da fração é o milésimo termo da famosa sequencia crescente > >cujo limite é o número e. Portanto a fração é menor que e/1001 e é muito > >menor que 1. > > > >Logo 1001^999 é o maior. > > Mas, se a fração é menor que 1, então o denominador 1000^1000 é maior!! > > Bruno F.C. Leite É. Pisei na bola na última frase.Desculpem. Morgado
polígonos
Olá pessoal, Tem uma dúvida comigo desde 1998 que lembrei ainda pouco. Neste ano eu tinha conversado com um colega meu do colégio naval e ele me disse que devia haver uma limitação para a existencia de polígonos regulares convexos? Existe tal limitação, ou seja, existe um polígono máximo de n lados sendo que não exista um polígono de n+1 lados?? Muito obrigado Abraços Marcelo __ Get Your Private, Free Email at http://www.hotmail.com
Re: Entendendo à Aplicação dos números complexos na geometria
quis dizer um livro. heheh :) acho que me esqueci da palavra.
Re: Problema simples, mas que me deixa doido
Tb achei outro
3 82
0 71
5 64
Cuja soma é igual a 18. Requer uma análise detalhada.
abnraços
marcelo
>From: "The Buddha's Sun" <[EMAIL PROTECTED]>
>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>To: <[EMAIL PROTECTED]>
>Subject: Problema simples, mas que me deixa doido
>Date: Wed, 2 Feb 2000 00:06:48 -0200
>
>Alguém sabe como se resolve o problema abaixo? Gostaria que me enviassem a
>solução antes de quinta-feira à tarde, porque eu viajarei. Muito obrigado,
>Lucas.
>
>Considere uma tabela quadrada 3 por 3 (9 casas). Desejamos preencher estas
>casas com elementos do conjunto S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, colocando
>um elemento em cada casa e de modo a satisfazer a seguinte condição: a soma
>dos números das sub-tabelas 2 x 2 deve ser sempre a mesma.
>
>Prove que não é possível fazer esta distribuição.
>
>
>
>
>
>
>
__
Get Your Private, Free Email at http://www.hotmail.com
Re: polígonos
On Sun, 6 Feb 2000, Marcelo Souza wrote: > Olá pessoal, > > Tem uma dúvida comigo desde 1998 que lembrei ainda pouco. Neste ano eu > tinha conversado com um colega meu do colégio naval e ele me disse que devia > haver uma limitação para a existencia de polígonos regulares convexos? > Existe tal limitação, ou seja, existe um polígono máximo de n lados sendo > que não exista um polígono de n+1 lados?? Desculpe, mas a sua dúvida é esta mesmo? É claro que existem polígonos regulares convexos com qualquer número n de lados, n >= 3. Basta tomar como vértices os números complexos 1, z, z^2, ..., z^(n-1), onde z = exp(2 pi i/n) = cos(2 pi/n) + i sen(2 pi/n). Será que você queria dizer poliedros? Em três dimensões existem 5 poliedros regulares, com 4, 6, 8, 12 e 20 faces. Em quatro dimensões existem 6, com 5, 8, 16, 24, 120 e 600 faces. Em dimensão n, n > 4, existem apenas 3, com (n+1), 2n e 2^n faces. A demonstração deste fato é elementar, só exige um pouco de desembaraço com geometria de dimensão alta (>3). []s, N.
Re: Entendendo à Aplicação dos números complexos
At 00:13 04/02/00 -0200, you wrote: > >Oi, > >Quem poderia me explicar o uso desta teoria? Li o artigo no Eureka, entendi >a parte que eles mostram as raízes complexas dispostas na circunferência >tendo n lados. Porém, não entendi à aplicação nos exercícios. >Os números complexos se não estou enganado pode ser usado como vetores, >aguém poderia me explicar? >Caso seja possível por favor uma explicação completa. Será que encontro aqui >no Brasil totalmente ligado ao assunto? > >Outro Problema, Alguém conhece a função pi(x)? Quer me explicar? >Tem um exercício, porém não entendi direito. > >O exercício pede para Provar que há infinitos número primos congruentes a 1 >mod 4. > > > >Muito Obrigado! > >Marcos Eike Tinen dos Santos Caro Marcos e Lista Eu também não entendi nada do artigo dos números complexos! Na escola aprendemos que os números complexos servem para resolver equações de 2º grau com delta<0 e também vemos o plano de Gauss (eixo real e imaginário, etc) É claro que nenhum bom aluno deve limitar-se ao que aprende nessas aulinhas de colegial, mas admitir que os alunos "olímpicos" já sabem as aplicações vetoriais dos complexos talvez seja uma visão muito pretensiosa! (sem querer ofender, é claro...) Eu já estudei vetores, produto vetorial, produto escalar, vetores na geom. analítica, etc, mas não pude entender o artigo justamente pela falta de uma introdução em que se poderia ter definido o que é um vetor na "linguagem" dos números complexos, e mostrado explicitamente como se muliplicam esse números-vetores (são as mesmas regras dadas na escola?) Sem essa introdução o "campo de ação" do artigo fica muito mais limitado: apenas três ou quatro estudantes entenderão perfeitamnete o que foi explicado! Peço à Comissão de Olimpíadas que prepare um texto que "conecte" a matéria da escola com o conteúdo desse artigo. Isto é, um texto que explique a teoria sobre números complexos desde o último assunto que as escolas normalmente dão (representação trigonométrica, soluções de x^n=1,operações na forma trigonométrica, resolução de qualquer equação quadrática) até o que é requerido pelo autor. Eu acho que não deve ser muita coisa, se um ponto ou outro forem esclarecidos a grande maioria dos alunos já poderá se virar. Agradeço a quem der uma ajuda explicando o artigo. Abração a todos da lista Bruno Leite PS-Sobre pi(x) e o exercício, eu já mando um email.
pi(x) e primos da forma 4k+1
>Outro Problema, Alguém conhece a função pi(x)? Quer me explicar?
>Tem um exercício, porém não entendi direito.
>
>O exercício pede para Provar que há infinitos número primos congruentes a 1
>mod 4.
>
>
>
>Muito Obrigado!
>
>Marcos Eike Tinen dos Santos
>
Caro Marcos,
A função pi(x) que eu conheço (e torço para que estejamos falando da mesma
função!)
é definida assim:
pi(x)= número de primos menores que x. (ou será que é menor OU IGUAL? -
alguém da lista pode confirmar))
Uma prova de que existem infinitos primos da forma 4k+1 é a seguinte:
Suponha que existam n primos dessa forma:p1, p2, ..., pn.
Considere o número X=(p1.p2. ... .pn)^2 + 1. Ele é maior que qualquer primo
da forma 4k+1 e portanto por hipótese é composto.
Notando que ele não é uma potência de 2(pois é congruente a 2 no módulo 4)
então algum primo ímpar q o divide: X=0(mod q)
Suponha que q é da forma 4k+3. Então X=0(mod q) -> (p1.p2. ... .pn)^2 = -1
(mod q)
Elevando tudo a 0,5(p-1), temos (p1.p2. ... .pn)^(p-1) = -1^(0,5(p-1)) (mod
q)
Como p=4k+3 por hipótese,
(p1.p2. ... .pn)^(p-1) = -1^(0,5(4k+2)) (mod q)
(p1.p2. ... .pn)^(p-1) = -1^(2k+1) (mod q)
No entanto o lado esquerdo dessa igualdade vale 1 (pelo pequeno teorema de
Fermat)
enquanto o direito vale -1. Isso é,
1=-1(mod q) o que implica em q=2 ou q=1, um absurdo pois q é primo ímpar.
Assim, q é da forma 4k+1 e portanto q pertence ao conjumto (supostamente
finito) {p1, p2, ..., pn.}. Assim, q=px (x é um índice de p, não está
multiplicando p), com 1<=x<=n
Temos X=0(mod q) -> (p1.p2. ... .pn)^2 + 1=0(mod px) -> 1=0(mod px) ABSURDO.
Portanto existem infinitos primos da forma 4k+1!!!
Bruno Leite
Re: pi(x) e primos da forma 4k+1
E essa função que vc mencionou, não seria a função fi de Euler, ou seja
números primos entre si que são menores que n. Matematicamente,
fi: N -> N ; fi(n) = {k pertencente a K; 0<= n < k ; mdc (k,n) =1
A dedução do problema é a seguinte:
Usando a definição de fatoração canonical temos que Pn =p1^a1 * ... * pn^an.
Defina Nn = Pn + 1, supondo que pn+1 seja o menor fator de Nn. Temos que
pn+1 não assumi nenhum valor de p1, p2, ..., pn. Então temos {Pk}k>0, o que
prova que quando pi(x) tende ao infinito com x tendendo ao infinito existem
infinitos números primos.
O pi(x) que estou mencionando é pi(x) > log2log2 (x) sendo o 2 a base.
Não entendi essa teoria direito.
-Mensagem original-
De: Bruno Leite <[EMAIL PROTECTED]>
Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>
Data: Domingo, 6 de Fevereiro de 2000 21:14
Assunto: pi(x) e primos da forma 4k+1
>>Outro Problema, Alguém conhece a função pi(x)? Quer me explicar?
>>Tem um exercício, porém não entendi direito.
>>
>>O exercício pede para Provar que há infinitos número primos congruentes a
1
>>mod 4.
>>
>>
>>
>>Muito Obrigado!
>>
>>Marcos Eike Tinen dos Santos
>>
>Caro Marcos,
>
>A função pi(x) que eu conheço (e torço para que estejamos falando da mesma
>função!)
>é definida assim:
>
>pi(x)= número de primos menores que x. (ou será que é menor OU IGUAL? -
>alguém da lista pode confirmar))
>
>Uma prova de que existem infinitos primos da forma 4k+1 é a seguinte:
>
>Suponha que existam n primos dessa forma:p1, p2, ..., pn.
>
>Considere o número X=(p1.p2. ... .pn)^2 + 1. Ele é maior que qualquer primo
>da forma 4k+1 e portanto por hipótese é composto.
>
>Notando que ele não é uma potência de 2(pois é congruente a 2 no módulo 4)
>então algum primo ímpar q o divide: X=0(mod q)
>
>Suponha que q é da forma 4k+3. Então X=0(mod q) -> (p1.p2. ... .pn)^2 = -1
>(mod q)
>
>Elevando tudo a 0,5(p-1), temos (p1.p2. ... .pn)^(p-1) = -1^(0,5(p-1)) (mod
>q)
>
>Como p=4k+3 por hipótese,
>
>(p1.p2. ... .pn)^(p-1) = -1^(0,5(4k+2)) (mod q)
>
>(p1.p2. ... .pn)^(p-1) = -1^(2k+1) (mod q)
>
>No entanto o lado esquerdo dessa igualdade vale 1 (pelo pequeno teorema de
>Fermat)
>enquanto o direito vale -1. Isso é,
>1=-1(mod q) o que implica em q=2 ou q=1, um absurdo pois q é primo ímpar.
>
>Assim, q é da forma 4k+1 e portanto q pertence ao conjumto (supostamente
>finito) {p1, p2, ..., pn.}. Assim, q=px (x é um índice de p, não está
>multiplicando p), com 1<=x<=n
>
>Temos X=0(mod q) -> (p1.p2. ... .pn)^2 + 1=0(mod px) -> 1=0(mod px)
ABSURDO.
>
>Portanto existem infinitos primos da forma 4k+1!!!
>
>Bruno Leite
Re: Entendendo à Aplicação dos números complexos
Conheço também a teoria da álgebra Vetorial, porém não consegui entender a aplicação nos primeiros exercícios, o único exercício que entendi foi o último, do produto das distâncias, se não estou enganado para provar que é menor que 2. Se não estou enganado, a soma e a diferença de dois números complexos podem ser considerados vetores. caso alguém possa ajudar. Marcos Eike Tinen dos Santos -Mensagem original- De: Bruno Leite <[EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Data: Domingo, 6 de Fevereiro de 2000 20:51 Assunto: Re: Entendendo à Aplicação dos números complexos >At 00:13 04/02/00 -0200, you wrote: >> >>Oi, >> >>Quem poderia me explicar o uso desta teoria? Li o artigo no Eureka, entendi >>a parte que eles mostram as raízes complexas dispostas na circunferência >>tendo n lados. Porém, não entendi à aplicação nos exercícios. >>Os números complexos se não estou enganado pode ser usado como vetores, >>aguém poderia me explicar? >>Caso seja possível por favor uma explicação completa. Será que encontro aqui >>no Brasil totalmente ligado ao assunto? >> >>Outro Problema, Alguém conhece a função pi(x)? Quer me explicar? >>Tem um exercício, porém não entendi direito. >> >>O exercício pede para Provar que há infinitos número primos congruentes a 1 >>mod 4. >> >> >> >>Muito Obrigado! >> >>Marcos Eike Tinen dos Santos > >Caro Marcos e Lista > >Eu também não entendi nada do artigo dos números complexos! Na escola >aprendemos que os números complexos servem para resolver equações de 2º >grau com delta<0 e também vemos o plano de Gauss (eixo real e imaginário, etc) > >É claro que nenhum bom aluno deve limitar-se ao que aprende nessas aulinhas >de colegial, mas admitir que os alunos "olímpicos" já sabem as aplicações >vetoriais dos complexos talvez seja uma visão muito pretensiosa! (sem >querer ofender, é claro...) > >Eu já estudei vetores, produto vetorial, produto escalar, vetores na geom. >analítica, etc, mas não pude entender o artigo justamente pela falta de uma >introdução em que se poderia ter definido o que é um vetor na "linguagem" >dos números complexos, e mostrado explicitamente como se muliplicam esse >números-vetores (são as mesmas regras dadas na escola?) > >Sem essa introdução o "campo de ação" do artigo fica muito mais limitado: >apenas três ou quatro estudantes entenderão perfeitamnete o que foi >explicado! Peço à Comissão de Olimpíadas que prepare um texto que "conecte" >a matéria da escola com o conteúdo desse artigo. Isto é, um texto que >explique a teoria sobre números complexos desde o último assunto que as >escolas normalmente dão (representação trigonométrica, soluções de >x^n=1,operações na forma trigonométrica, resolução de qualquer equação >quadrática) até o que é requerido pelo autor. Eu acho que não deve ser >muita coisa, se um ponto ou outro forem esclarecidos a grande maioria dos >alunos já poderá se virar. > >Agradeço a quem der uma ajuda explicando o artigo. > >Abração a todos da lista > >Bruno Leite > >PS-Sobre pi(x) e o exercício, eu já mando um email.
En: correção ajuda-demonstração
-Mensagem original-De: José Fabrício Maia <[EMAIL PROTECTED]>Para: discussão de problemas <[EMAIL PROTECTED]>Data: Domingo, 6 de Fevereiro de 2000 16:27Assunto: correção ajuda-demonstração ESPERO RETORNO COLEGA MARCOS EIKE TINEN DOS SANTOS: CORREÇÃO LINHA 17 Sendo as amplitudes de um triângulo. a', b', c'. Temos que observar que a soma desta PA, no caso do referido problema tem que ser 180 graus ou pi radianos. a'+b'+c' = 180 S3 = 3(a' + c')/2 = 180 3(a'+c') = 360 => a'+c' = 120 Proposta: o termo médio é a média aritmética dos outros dois. b' = 120/2 => b' = 60 Sendo as halturas de um triângulo, ha, hb, hc temos que observar que as alturas são perpendiculares aos seus lados opostos. Pela teoria dos senos temos: hc = a * sen 60 ha = c * sen 60 Sendo PA como o enunciado disse temos: hb = (a * sen 60 + c * sen 60)/2 hb = sen 60 (a + c)/2 hc - hb = a * sen 60 - sen 60 (a + c)/2 hc - hb = (sen 60 * a - sen 60 * c)/2 = hb - ha = sen 60 (a+c)/2 - a sen 60 (não vi sentido nesta igualdade por gentileza corrija) sen 60 * a - sen 60 * c = sen 60 *c - sen 60 *a 2sen 60 * a - 2 sen 60 * c = 0 2 sen 60 * a = 2 sen 60 * c de fato: a = c Observe que se a = c temos que ha = hb = hc. Então: Usando o simples teorema dos senos temos: c/sen c' = b / sen 60 = sen 60 = sen a' => 60 = a', já que outros valores não o satisfaria. Substituindo em a'+c' = 120 temos: c' = 60
