Corrigindo um Cochilo
On Fri, 31 Mar 2000 20:25:23 -0500
"Paulo Santa Rita" [EMAIL PROTECTED] wrote:
Caros Colegas da Lista,
Saudacoes !
No desenvolvimento do Binomio (1 + 1/3)^65, o Termo Geral
-
que doravante designaremos por T(k+1) - e expresso por :
T(k+1) = (65! / (k! * (65 - k)!) )*( (1/3)^k )
Este Termo Geral pode ser escrito de outra forma, a saber:
T(k+1) = (65! / (65 - k)!) )*((1/ k!)* (1/3)^k )
Simplificando 65! com (65 - k)! surgirao "k" fatores,
desde
65 ate "65 - k + 1". Estes fatores constituirao o
"NUMERADOR". Se, por outro lado, associarmos a cada fator
de
AQUI
k! (1*2*...*k) um "3" de (1/3)^k, teremos o "k" fatores,
a
saber:
(1*3)*(2*3)*(3*3)*(4*3)* ... (k*3)
O CERTO E:
1/K! ((1/1)*(1/2)*(1/3)* ... * (1/K) ) UM "1/3" DE (1/3)^K,
TEREMOS "K" FATORES, A SABER:
(1/(1*3))*(1/(2*3))*(1/(3*3))*(1/(4*3))*...*(1/(K*3))
ESSES "K" FATORES SE TRANFORMARAO NO "DENOMINADOR". A FRACAO
RESULTANTE TERA A FORMA:
(65*64*63*...*(65-K+1))/((1*3)*(2*3)*(3*3)*...*(K*3))
ENQUANTO 65-K+1 3K, OS TERMOS CRESCERAO. QUANDO OCORRER
65-K+1 3K O TERMO SERA MENOR QUE O ANTERIOR E DECRESCERAO
SEMPRE. ORA, 65-K+1 3K OCORRE PELA PRIMEIRA VEZ EM K=17 (
K E INTEIRO ). ASSIM, O MAIOR TERMO SERA K = 16, O
DECIMO-SETIMO TERMO PORTANTO.
Estas duas observacoes nos permitem concluir que cada novo
termo e o produto do anterior pela fracao (65 - k +1) /
(3*k). Assim, os termos so crescerao se esta fracao for
maior que 1 ( um ) ! Portanto, o menor "k" tal que :
65 - k + 1 3k
E o valor que procuramos ... A resolucao da inequacao
fornece k 16,5. Logo, deve ser k = 17. O maior termo e,
portanto, o decimo-oitavo termo.
Esta maneira de ver as coisas pode ser empregada para
resolver QUALQUER QUESTAO SIMILAR, inclusive aquelas em
que
precisamos empregar a formula de expansao multinomial de
Leibniz. Uma questao de alguma forma correlata pode ser:
***
seja T(k) = ( (k^N) / (1+ 1/N)^k ). K variando em {1,2,3,
... } e N um natural fixo dado, nao nulo. Para que valor
de "k", T(k) atinge o seu valor maximo ?
***
Ola Via Luz. Agradeco sua lembranca. O certo e que por
problemas de saude em minha familia precisei viajar para
Bahia com brevidade... Por isso não estou participando da
Lista, dado que aqui não tenho um computador disponivel.
So
respondi a este e-mail por uma contigencia que acredito
dificilmente vai se repetir. Espero em breve estar no Rio
e
voltar as minhas atividades normais ...
Um Grande Abraco a Todos
Saudades dos Amigos !
Paulo Santa Rita
6,2215,31032000
Nao e sem razao que dizem que a pressa e inimiga da
perfeicao
Quando eu voltar ao Rio participarei mais intensamente da
Lista. Sinto saudades dela e de todos os colegas e Prof´s
que conheci. Um abraco especial ao Prof´s :
Eduardo Wagner, Nicolau Saldanha, Jose Paulo Carneiro,
Morgado, Gustavo Tamm (Gugu).
E aos colegas,
Bruno Leite, Eduardo Casagrande, Benjamim Heinrichs, Via
Lux, Alex,
Bom, o Ralph e estudante ou Prof ? Nao sei ! De qualquer
forma segue um abraco.
Paulo Santa Rita
1,1259,02042000
PS : Nao sei quanto tempo devo ficar por aqui. Mas o acesso
a internet e muito dificil. Vou deixar ao colegas e prof um
mimo. E o "Louvor ao Todo Poderoso", de Goeth ( traducao de
Castilho ).
Tres anjos chegam a Deus para louva-lo.
O Primeiro, ANJO GABRIEL, Fala ( a Deus )
No coro sideral, o sol vai prosseguindo ...
Qual na origem Lho has dado o curso harmonioso !
Tonitroante Baixo em teu concerto Infindo.
So Mandando-lhe Tu, Senhor, tera repouso.
A Tua luz, dobra a Nossa ... Enchendo-nos de Espanto !
Nem o Arcanjo Lhe sonda a portentosa essencia !
Como o fora a principio, o sacra onipotencia:
O Teu sol e ainda hoje assombro, enigma e Encanto !
O Segundo, ANJO MIGUEL, Fala ( a Deus )
E da terraquea esfera, a maquina esplendente,
Segue em seu torvelino eterno, arrebatado ...
Por que ora a luz de florido Eden se ostente,
Ora descanse envolta em negro veu bordado !
O Mar espuma, troa, investe as brutas vagas,
Que o repulsam desfeitas em nunca finda guerra...
Mas na perpetua luta, tanto as rochas como as vagas,
Seguem juntas refeitas o volutear da terra !
O terceiro, ANJO RAFAEL, Fala ( a Deus )
Dos solos contra o mar, dos oceanos aos continentes :
Jogam-se os temporais com impeto profundo !
Zona de assolacoes e criacoes potentes,
Que desfaz e refaz perpetuamente o Mundo !
Ignea precede ao morte ao trovejante horror,
Mas nos, os cortesaos de vossa santidade,
Gozamos luz e paz por toda eternidade ...
Os tres anjos Falam (a Deus ) alto :
Bendito sejas tu, Senhor, Senhor, Senhor !
A essencia da obra de Goeth parece ser a SIMPLICIDADE E A
BELEZA. Nao esta tambem a essencia da Matematica ?
Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
99
Eu sou novo na lista e gostaria que voces me mostrassem como resolver o meu problema, se existe alguma formula para resolve-lo, senao de que jeito eu posso resolve-lo,o problema é o seguinte. Qual o menor numero inteiro e positivo que é multiplo de 99, seus dois ultimos algarismos sao 99 e a soma de todos os seus algarismos da 99. Obrigado Bruno
Re: Corrigindo um Cochilo
Paulo Santa Rita escreveu:
On Fri, 31 Mar 2000 20:25:23 -0500
"Paulo Santa Rita" [EMAIL PROTECTED] wrote:
Caros Colegas da Lista,
Saudacoes !
No desenvolvimento do Binomio (1 + 1/3)^65, o Termo Geral
-
que doravante designaremos por T(k+1) - e expresso por :
T(k+1) = (65! / (k! * (65 - k)!) )*( (1/3)^k )
Este Termo Geral pode ser escrito de outra forma, a saber:
T(k+1) = (65! / (65 - k)!) )*((1/ k!)* (1/3)^k )
Simplificando 65! com (65 - k)! surgirao "k" fatores,
desde
65 ate "65 - k + 1". Estes fatores constituirao o
"NUMERADOR". Se, por outro lado, associarmos a cada fator
de
AQUI
k! (1*2*...*k) um "3" de (1/3)^k, teremos o "k" fatores,
a
saber:
(1*3)*(2*3)*(3*3)*(4*3)* ... (k*3)
O CERTO E:
1/K! ((1/1)*(1/2)*(1/3)* ... * (1/K) ) UM "1/3" DE (1/3)^K,
TEREMOS "K" FATORES, A SABER:
(1/(1*3))*(1/(2*3))*(1/(3*3))*(1/(4*3))*...*(1/(K*3))
ESSES "K" FATORES SE TRANFORMARAO NO "DENOMINADOR". A FRACAO
RESULTANTE TERA A FORMA:
(65*64*63*...*(65-K+1))/((1*3)*(2*3)*(3*3)*...*(K*3))
ENQUANTO 65-K+1 3K, OS TERMOS CRESCERAO. QUANDO OCORRER
65-K+1 3K O TERMO SERA MENOR QUE O ANTERIOR E DECRESCERAO
SEMPRE. ORA, 65-K+1 3K OCORRE PELA PRIMEIRA VEZ EM K=17 (
K E INTEIRO ). ASSIM, O MAIOR TERMO SERA K = 16, O
DECIMO-SETIMO TERMO PORTANTO.
Estas duas observacoes nos permitem concluir que cada novo
termo e o produto do anterior pela fracao (65 - k +1) /
(3*k). Assim, os termos so crescerao se esta fracao for
maior que 1 ( um ) ! Portanto, o menor "k" tal que :
65 - k + 1 3k
E o valor que procuramos ... A resolucao da inequacao
fornece k 16,5. Logo, deve ser k = 17. O maior termo e,
portanto, o decimo-oitavo termo.
Esta maneira de ver as coisas pode ser empregada para
resolver QUALQUER QUESTAO SIMILAR, inclusive aquelas em
que
precisamos empregar a formula de expansao multinomial de
Leibniz. Uma questao de alguma forma correlata pode ser:
***
seja T(k) = ( (k^N) / (1+ 1/N)^k ). K variando em {1,2,3,
... } e N um natural fixo dado, nao nulo. Para que valor
de "k", T(k) atinge o seu valor maximo ?
***
Ola Via Luz. Agradeco sua lembranca. O certo e que por
problemas de saude em minha familia precisei viajar para
Bahia com brevidade... Por isso não estou participando da
Lista, dado que aqui não tenho um computador disponivel.
So
respondi a este e-mail por uma contigencia que acredito
dificilmente vai se repetir. Espero em breve estar no Rio
e
voltar as minhas atividades normais ...
Um Grande Abraco a Todos
Saudades dos Amigos !
Paulo Santa Rita
6,2215,31032000
Nao e sem razao que dizem que a pressa e inimiga da
perfeicao
Quando eu voltar ao Rio participarei mais intensamente da
Lista. Sinto saudades dela e de todos os colegas e Prof´s
que conheci. Um abraco especial ao Prof´s :
Eduardo Wagner, Nicolau Saldanha, Jose Paulo Carneiro,
Morgado, Gustavo Tamm (Gugu).
E aos colegas,
Bruno Leite, Eduardo Casagrande, Benjamim Heinrichs, Via
Lux, Alex,
Bom, o Ralph e estudante ou Prof ? Nao sei ! De qualquer
forma segue um abraco.
Paulo Santa Rita
1,1259,02042000
PS : Nao sei quanto tempo devo ficar por aqui. Mas o acesso
a internet e muito dificil. Vou deixar ao colegas e prof um
mimo. E o "Louvor ao Todo Poderoso", de Goeth ( traducao de
Castilho ).
Tres anjos chegam a Deus para louva-lo.
O Primeiro, ANJO GABRIEL, Fala ( a Deus )
No coro sideral, o sol vai prosseguindo ...
Qual na origem Lho has dado o curso harmonioso !
Tonitroante Baixo em teu concerto Infindo.
So Mandando-lhe Tu, Senhor, tera repouso.
A Tua luz, dobra a Nossa ... Enchendo-nos de Espanto !
Nem o Arcanjo Lhe sonda a portentosa essencia !
Como o fora a principio, o sacra onipotencia:
O Teu sol e ainda hoje assombro, enigma e Encanto !
O Segundo, ANJO MIGUEL, Fala ( a Deus )
E da terraquea esfera, a maquina esplendente,
Segue em seu torvelino eterno, arrebatado ...
Por que ora a luz de florido Eden se ostente,
Ora descanse envolta em negro veu bordado !
O Mar espuma, troa, investe as brutas vagas,
Que o repulsam desfeitas em nunca finda guerra...
Mas na perpetua luta, tanto as rochas como as vagas,
Seguem juntas refeitas o volutear da terra !
O terceiro, ANJO RAFAEL, Fala ( a Deus )
Dos solos contra o mar, dos oceanos aos continentes :
Jogam-se os temporais com impeto profundo !
Zona de assolacoes e criacoes potentes,
Que desfaz e refaz perpetuamente o Mundo !
Ignea precede ao morte ao trovejante horror,
Mas nos, os cortesaos de vossa santidade,
Gozamos luz e paz por toda eternidade ...
Os tres anjos Falam (a Deus ) alto :
Bendito sejas tu, Senhor, Senhor, Senhor !
A essencia da obra de Goeth parece ser a SIMPLICIDADE E A
BELEZA. Nao esta tambem a essencia da Matematica ?
Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
O Ralph, hoje pesquisador no IMPA é detentor de duas medalhas de ouro
nas IMOs. Duas!!!
