Ola Iolanda,
Prazer em conhece-la ! Voce deve ser nova na Lista, nao ? Se
for, seja Bem-Vinda ! Pergunto isso porque nao me lembro de
nenhuma mensagem sua anterior.
Eu nao estou podendo - por circuntancias alheias a minha
vontade - participar da lista como gostaria, de forma que
nao conheco a discussao a qual voce se refere ...
Independente disso posso lhe garantir que a sua observacao e
pertinente, isto e :
Rz_2(2)^Rz_2(2) E IRRACIONAL. [ Rz_2(2)=raiz quadrada de 2
]
A maneira mais simples de se ver isso ( pelo que sei ) e
conforme voce assinala, vale dizer, invocando o Teorema de
Gelfond.
Teorema de Gelfond : "A^B" e trancedente se
1) A e algebrico, diferente de zero e um
2) B e irracional
No seu caso, A=B=Rz_2(2) satisfazem as condicoes do Teorema
de Gelfond e, portanto, A^B e transcendente e, portanto,
irracional.
Voce deve ter percebido que se definirmos:
T(1)=Rz_2(2)
T(N+1)= Rz_2(2)^T(N), N 0
entao T(N) e transcendente - e portanto irracional - para
todo N, N 1. Se nao percebeu, note que:
T(3)=Rz_2(2)^T(2). Fazendo A=Rz_2(2) e B=T(2) recaimos no
Teorema de Gelfond e concluimos que T(3) e transcendente e,
portanto, irracional. Reiterando este raciocinio para
N=4,5,... voce percebera o que falei.
Duas outras observacoes simples que voce pode fazer sao:
1) T(N+1) T(N), para qualquer N
2) T(N) 2, para qualquer N
Estes duas observacoes nos mostram que a sequencia definida
acima e formada so por numeros transcendentes [ a excecao de
T(1)=Rz_2(2) ], estritamente crescente e limitada
superiormente, logo ... E CONVERGENTE ! No meio de tantos
2´s, voce saberia me provar para onde ela converge ?
Bom, finalizando, devo dizer que eu conheco muito pouco
sobre numeros trancendentes. Alem do Teorema acima ( de
Gelfond ), conheco os Teoremas de Liouville, de Hermite e de
Borel ( Voce conhece estes Teoremas ? ) e as implicacoes
elementares que se faz com as equacoes de Euler, com as
series de potencias e os fatos sobre "pi" e "e".
Voce me tratou com uma cerimonia tal que me imaginei como um
vetusto e inacessivel Catedratico ... sou simplesmente um
estudante universitario, com um "montao" de duvidas e ideias
na cabeca.
Um abraco
Paulo Santa Rita
6,0952,30062000
On Thu, 29 Jun 2000 12:35:03 PDT
"=?iso-8859-1?B?SW9sYW5kYSBCcmF6428=?="
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi Pessoal,
Engracado. Outro dia vi uma longa discusao na qual nao se
chegou a resultado
algum e que nao entendi. Parece que alguem perguntou como
provar que
(raiz_2(2))^(raiz_2(2)) e irracional. [ estou usando
raiz_2(N) = raiz
quadrada de N ].
Nao existe o Teorema de Gelfond ? Nao e verdade que ele
diz que em A^B se:
1) A e algebrico nao nulo e diferente de 1
2) B e irracional
entao: A^B e trancendente ?
Nao e isso que diz o teorema de Gelfond ? Se for verdade
entao em
(raiz_2(2))^(raiz_2(2)) temos que A=B=raiz_2(2). E
portanto satisfazem as
condicoes do Teorema de Gelfond. E portando
(raiz_2(2))^(raiz_2(2)) e transcendente. Logo, irracional.
Eu acompanho as respostas que o Sr da, muito boas. O sr
pode dizer se estou
certa ? Pode outro prof fa lista dizer se estou certa !!!
Iolanda
From: "Paulo Santa Rita" [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: Problema de Geometria
Date: Wed, 05 Apr 2000 08:32:59 -0400
Ola Pessoal,
Saudacoes a Todos !
A desigualdade em foco decorre diretamente da
DESIGUALDADE
TRIANGULAR, vale dizer, promana do fato de que EM
QUALQUER
TRIANGULO QUALQUER LADO E MENOR QUE A SOMA DOS OUTROS
DOIS.
Para ver isso, sejam "a", "b" e "c" os lados de um
trangulo
qualquer. Entao:
a b+c = a + (b+c) b+c + (b+c) = a+b+c 2*(b+c)
1/(a+b+c) 1/(2*(b+c)) = a/(a+b+c) a/(2*(b+c))
Usando um raciocinio identido, porem partindo de :
b a+c, chegaremos a ... b/(a+b+c) b/(2*(a+c))
c a+b, chegaremos a ... c/(a+b+c) c/(2*(a+b))
Somando estas tres desigualdades, ficara :
1 (1/2)*( a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) )
ou : a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) 2
Tal "Como Queriamos Demonstrar". A expressao
a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)
Nao possui somente o limitante superior, tal como
acabamos
de mostrar. Ela tambem admite um limitante inferior,
decorrencia do fato de que as medidas dos lados de um
triangulos poderem ser interpretadas como numeros reais
positivos. Afirmamos que :
a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = 3/2
Quaisquer que sejam "a", "b" e "c" reais positivos.
Assim,
temos :
3/2 = a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) 2
A desigualdade esquerda, aqui tao somente postulada, e de
demonstracao tao simples quando a da direita. Fica como
Exercicio.
a todos,
Os Melhores Votos
de Paz Profunda !
Paulo Santa Rita
4,0927,05042000
On Tue, 28 Mar 2000 06:31:02 +0200
"Marcio" [EMAIL PROTECTED] wrote:
Como resolver?
Sejam a,b,c lados de um triangulo.
Prove que [a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)
]
2
Abraços,
Marcio
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