Re: apreciação
impar divide par... 9/36; 3/6 3/12 ... - Original Message - From: Filho To: discussão de problemas Sent: Wednesday, July 05, 2000 10:44 PM Subject: apreciação 1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 é divisível por ab, mostre que a=b. Comentários: Melhorando idéias a ^2 + b^2 = ( a + b ) ^2 - 2ab Veja: 1. Como ab divide a ^2 + b^2 (hipótese), então, ab deverá dividir ( a + b ) ^2 . 2. Se a for par e b for ímpar então ab é par e ( a + b ) ^2 é ímpar ( absurdo: par não divide ímpar) 3. Se a for ímpar e b for par (análogo) 4. Se a for ímpar e b for ímpar (absurdo: ímpar não divide par) Então, só resta a possibilidade (ambos são pares). Veja: Se a e b forem pares, então, a é da forma 2m e b é da forma 2n. Temos, agora: [2m.2n divide ( 2m + 2n ) ^2] implica [4mn divide 4m^2 + 4n^2 + 8mn] implica [m/n + n/m + 2] é inteiro. A última sentença só ocorre quando m = n (evidente). Portanto, podemos concluir a = b . Valeu
Re: apreciação
Olá, Olha o que eu acho. Seja (a,b)=g, e a=gA, e b=gB (a^2 + b^2)/ab = (A^2 + B^2)/AB Agora basta ver o que ocorre para (A,B)=1. Mas veja que - se (A,B)=1 então (A+B,B)=(A+B,A)=1 - se (A+B,B)=(A+B,A)=1 então (A+B,AB)=1 - se (A+B,AB)=1 então ((A+B)^2,AB)=1 Logo (A+B)^2/AB é inteiro somente se AB=1, portanto A=1 e B=1, logo a=b=g. Tudo certo? Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. >From: "José Paulo Carneiro" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: Re: apreciação >Date: Thu, 6 Jul 2000 21:13:14 -0300 > > >-Mensagem original- >De: Filho <[EMAIL PROTECTED]> >Para: discussão de problemas <[EMAIL PROTECTED]> >Data: Quarta-feira, 5 de Julho de 2000 22:50 >Assunto: apreciação > > >1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 é divisível por ab, mostre >que a=b. > > Comentários: Melhorando idéias > a ^2 + b^2 = ( a + b ) ^2 - 2ab > > Veja: > 1. Como ab divide a ^2 + b^2 (hipótese), então, ab deverá dividir ( a >+ b ) ^2 . > 2. Se a for par e b for ímpar então ab é par e ( a + b ) ^2 é ímpar >( absurdo: par não divide ímpar) > 3. Se a for ímpar e b for par (análogo) > 4. Se a for ímpar e b for ímpar (absurdo: ímpar não divide par) > Então, só resta a possibilidade (ambos são pares). > > Veja: > Se a e b forem pares, então, a é da forma 2m e b é da forma 2n. > Temos, agora: > > [2m.2n divide ( 2m + 2n ) ^2] implica [4mn divide 4m^2 + 4n^2 + 8mn] >implica > > [m/n + n/m + 2] é inteiro. > > A última sentença só ocorre quando m = n (evidente). > >== Sem querer ser chato: m/n+n/m+2 eh inteiro se e so se >m/n+n/m=(m^2+n^2)/(mn) >eh inteiro, ou seja, se e so se mn divide m^2+n^2. >Voce disse que eh evidente que isto so ocorre quando m=n. >Mas isto eh exatamente o problema inicial, com m e n no lugar de a e b. E >agora? >JP > > Portanto, podemos concluir a = b . > > > Valeu > > > > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: apreciação
-Mensagem original-De: Filho <[EMAIL PROTECTED]>Para: discussão de problemas <[EMAIL PROTECTED]>Data: Quarta-feira, 5 de Julho de 2000 22:50Assunto: apreciação 1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 é divisível por ab, mostre que a=b. Comentários: Melhorando idéias a ^2 + b^2 = ( a + b ) ^2 - 2ab Veja: 1. Como ab divide a ^2 + b^2 (hipótese), então, ab deverá dividir ( a + b ) ^2 . 2. Se a for par e b for ímpar então ab é par e ( a + b ) ^2 é ímpar ( absurdo: par não divide ímpar) 3. Se a for ímpar e b for par (análogo) 4. Se a for ímpar e b for ímpar (absurdo: ímpar não divide par) Então, só resta a possibilidade (ambos são pares). Veja: Se a e b forem pares, então, a é da forma 2m e b é da forma 2n. Temos, agora: [2m.2n divide ( 2m + 2n ) ^2] implica [4mn divide 4m^2 + 4n^2 + 8mn] implica [m/n + n/m + 2] é inteiro. A última sentença só ocorre quando m = n (evidente). == Sem querer ser chato: m/n+n/m+2 eh inteiro se e so se m/n+n/m=(m^2+n^2)/(mn) eh inteiro, ou seja, se e so se mn divide m^2+n^2. Voce disse que eh evidente que isto so ocorre quando m=n. Mas isto eh exatamente o problema inicial, com m e n no lugar de a e b. E agora? JP Portanto, podemos concluir a = b . Valeu
Variaveis Complexas - Estimativas de Cauchy
Ola turma,
Desigualdade de Cauchy (Estimativa de Cauchy)
Seja C o circulo de raio R centrado em z = a. Se f(z)
eh uma funcao analitica em {z; |z-a| <= r}, entao
|derivada n-esima de [f(a)]| <= M n!/ r^n n = 0,1,2,...
onde M eh uma constante tal que |f(z)| < M sobre C,
i.e, M eh uma cota superior de |f(z)| sobre C.
PROBLEMAS
1 - (a) Use a desigualdade de Cauchy para obter
estimativas para a derivada de sen z em z = 0 e
(b) determine quao sao boas essas estimativas.
2 - Discuta a desigualdade de Cauchy para a funcao
f(z) = e^(-1)/z^2 na vizinhanca de z = 0.
Ate a proxima,
abracos e bons estudos
Wellington
