Re: uma desigualdade!
Paulo Santa Rita wrote: > > Carissimo Bruno, > > Antes de mais nada, registro minha alegria em "reve-lo > virtualmente". Saudacoes ! Parece que aqui na lista temos a > oportunidade de consquistar nao so conhecimentos, mas, > tambem, amigos ! > > Esta serie e, de fato, interessantissima ... Ela guarda um > evidente parentesco - ao menos quanto a forma - com a serie > dos inversos dos quadrados > > 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ... > > Tio Euler pode somar esta serie, mas, a dos inversos dos > cubos, nao. E digno de nota que tanto Bernoulli quanto > Leibniz tentaram, sem sucesso, obter o mesmo resultado. > Posteriormente Tio Euler generalizou para uma potencia par > qualquer. > > Voce sabe como ele concluiu que > > 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ... = ((pi)^2)/6 ? > > Nao ? Observando o desenvolvimento em serie de Taylor do > seno(x). > > Como seno(x)=0 => x=k*(pi), K inteiro, Euler concluiu que o > desenvolvimento em serie de seno(x) era um polinomio > infinito que obedecia as relacoes de girard entre os > coeficientes e as raizes de uma equacao(valido para um > polinomio finito ). Dai aplicou estas relacoes para > encontrar a soma dos inversos dos quadrados das raizes > (infinitas) do polinomio infinito. Genial, nao ? > > Mas, conforme falei, Tio Euler nao teve sucesso ( e nenhum > outro matematico depois dele, ate hoje - pelo que sei ) com > a soma dos inversos dos cubos. Por que ? > > Bom, "pi" aparece com muitas caras. Em particular aparece > tal como Gregori o viu: > > pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ... > > Por outro lado, qualquer quadrado pode ser expresso como uma > soma de numeros impares, a saber: > > N^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2*N - 1) > > E portanto podemos expressar o resultado de Euler como: > > 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ...=(1/6)*(1 - 1/3 + > 1/5 - ...)*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... ) > > Ocorre que se (a1, a2, a3, ... ) e uma progressao harmonica, > entao, sempre, (a1 - a2 + a3 - a4 + ...) e uma serie > convergente e a soma dos inversos dos quadrados e da masma > natureza que a soma dos numeros triangulares. Esta series > formam um triangulo aritmetico. > > On Mon, 10 Jul 2000 17:02:23 -0300 > Bruno Leite <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > >At 22:07 09/07/00 -0300, you wrote: > >>Caros amigos, como posso verificar a desigualdade > >> 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 <3/2 para todo > >n natural ? > > > >Um esboço de solução: > >Provar por indução que 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ > >1/n^3 <3/2(1-1/n) > >para n>1 > > > >Então quando n->infinito, 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ > >1/n^3<3/2 > > > >A série 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 é crescente, > >limitada > >superiormente e tem um limite que é menor que 3/2. > >Logo para qualquer n natural 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + > >...+ 1/n^3 <3/2. > > > >Na verdade vale 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 > ><1.202057 > > > > > >Abraço > > > >Bruno Leite > > > > > > > > > > > > Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/ Houve uma pequena distração. Leia-se série de Fourier onde está série de Taylor. Morgado
Re: uma desigualdade!
Carissimo Bruno, Antes de mais nada, registro minha alegria em "reve-lo virtualmente". Saudacoes ! Parece que aqui na lista temos a oportunidade de consquistar nao so conhecimentos, mas, tambem, amigos ! Esta serie e, de fato, interessantissima ... Ela guarda um evidente parentesco - ao menos quanto a forma - com a serie dos inversos dos quadrados 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ... Tio Euler pode somar esta serie, mas, a dos inversos dos cubos, nao. E digno de nota que tanto Bernoulli quanto Leibniz tentaram, sem sucesso, obter o mesmo resultado. Posteriormente Tio Euler generalizou para uma potencia par qualquer. Voce sabe como ele concluiu que 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ... = ((pi)^2)/6 ? Nao ? Observando o desenvolvimento em serie de Taylor do seno(x). Como seno(x)=0 => x=k*(pi), K inteiro, Euler concluiu que o desenvolvimento em serie de seno(x) era um polinomio infinito que obedecia as relacoes de girard entre os coeficientes e as raizes de uma equacao(valido para um polinomio finito ). Dai aplicou estas relacoes para encontrar a soma dos inversos dos quadrados das raizes (infinitas) do polinomio infinito. Genial, nao ? Mas, conforme falei, Tio Euler nao teve sucesso ( e nenhum outro matematico depois dele, ate hoje - pelo que sei ) com a soma dos inversos dos cubos. Por que ? Bom, "pi" aparece com muitas caras. Em particular aparece tal como Gregori o viu: pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ... Por outro lado, qualquer quadrado pode ser expresso como uma soma de numeros impares, a saber: N^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2*N - 1) E portanto podemos expressar o resultado de Euler como: 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ...=(1/6)*(1 - 1/3 + 1/5 - ...)*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... ) Ocorre que se (a1, a2, a3, ... ) e uma progressao harmonica, entao, sempre, (a1 - a2 + a3 - a4 + ...) e uma serie convergente e a soma dos inversos dos quadrados e da masma natureza que a soma dos numeros triangulares. Esta series formam um triangulo aritmetico. On Mon, 10 Jul 2000 17:02:23 -0300 Bruno Leite <[EMAIL PROTECTED]> wrote: >At 22:07 09/07/00 -0300, you wrote: >>Caros amigos, como posso verificar a desigualdade >> 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 <3/2 para todo >n natural ? > >Um esboço de solução: >Provar por indução que 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ >1/n^3 <3/2(1-1/n) >para n>1 > >Então quando n->infinito, 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ >1/n^3<3/2 > >A série 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 é crescente, >limitada >superiormente e tem um limite que é menor que 3/2. >Logo para qualquer n natural 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + >...+ 1/n^3 <3/2. > >Na verdade vale 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 ><1.202057 > > >Abraço > >Bruno Leite > > > > Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: ajuda(correção)
Ola Duda, A sua solucao, em essencia, esta correta ... Todavia, observe que voce diz: "Para que 36y+x nao seja impar, e necessario que x seja multiplo de 4" Esta certo isso ? Sem duvida que voce queria dizer que "36x+y" e "36y+x" serao pares se, e somente se, "x" e "y" forem pares. Fazendo x=2A e y=2B, seque 4*(36A+B)(36B+A)e uma potencia de 2, logo (36A+B)(36B+A) tambem e uma potencia de 2, com A < x e B < y. reiterando o raciocinio acima teriamos uma "descida infinita", o que, por absurdo, provaria sua tese tal como Fermat provava seus Teoremas. Mas tudo isso e bordado e perfumaria: esta implicito em seu pensamento. A ideia basica e fundamental e sua e as glorias por ela so cabem a voce ! Um Abraco Paulo Santa Rita 2,1832,10072000 >Desculpem-me, eu disse besteira, pensei mal. >A minha outra sugestão é a seguinte. >Escolhemos a solução que tem o menor x, deve existir uma. >Só que para >(36y # x) não ser ímpar, x deve ser múltiplo de 4, diremos >x=4X. E para (36x ># y) não ser ímpar, y deve ser múltiplo de 4, diremos >y=4Y. Temos >(36x # y)(36y # x)=16(36X # Y)(36Y # X) potência de 2. >Então o par (X,Y) >também é solução do problema, mas X=4xsupomos x o menor >possível. Logo não há solução. >Isso seria a descida de Fermat para (36x # y)(36y # x)=2^z >? Acho que sim. > >Obrigado! > >Eduardo Casagrande Stabel. > >Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at >http://www.hotmail.com > Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: uma desigualdade!
At 22:07 09/07/00 -0300, you wrote: >Caros amigos, como posso verificar a desigualdade > 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 <3/2 para todo n natural ? Um esboço de solução: Provar por indução que 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 <3/2(1-1/n) para n>1 Então quando n->infinito, 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3<3/2 A série 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 é crescente, limitada superiormente e tem um limite que é menor que 3/2. Logo para qualquer n natural 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 <3/2. Na verdade vale 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 <1.202057 Abraço Bruno Leite
Re: ajuda(correção)
>From: "Ecass Dodebel" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: Re: ajuda >Date: Mon, 10 Jul 2000 17:24:42 GMT > > > > >>From: "Filho" <[EMAIL PROTECTED]> >>Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >>To: "discussão de problemas" <[EMAIL PROTECTED]> >>Subject: ajuda >>Date: Sun, 9 Jul 2000 22:21:40 -0300 >> >>Demonstrar que quaisquer que sejam os inteiros positivos x e y, o produto >>(36x+y).(36y+x) não pode ser uma potência de 2. >> >> >>Valeu Stabel pela questão anterior. > >É só fazer a diferença dos fatores, dá 35(x-y), a diferença de duas >potências de 2 não pode ser múltipla de 35, que não é um primo de Mersenne. > >Obrigado! > >Eduardo Casagrande Stabel. > >___ Desculpem-me, eu disse besteira, pensei mal. A minha outra sugestão é a seguinte. Escolhemos a solução que tem o menor x, deve existir uma. Só que para (36y # x) não ser ímpar, x deve ser múltiplo de 4, diremos x=4X. E para (36x # y) não ser ímpar, y deve ser múltiplo de 4, diremos y=4Y. Temos (36x # y)(36y # x)=16(36X # Y)(36Y # X) potência de 2. Então o par (X,Y) também é solução do problema, mas X=4xhttp://www.hotmail.com
Re: ajuda
Ok, concordo que (36x+y)(36y+x) é uma potência de 2 se e somente se cada um dos fatores o for. Então a diferença 35(x-y) seria a diferença de potências de 2. Mas não terminou ainda. Há potências de 2 cuja diferença é múltipla de 35 sim. Por exemplo, note que 4095 = 2^12-1 é múltiplo de 35, então: 2^(n+12)-2^n é múltiplo de 35 para qualquer n. Aliás, dá para mostrar que sempre que a diferença entre os expoentes for múltiplo de 12, 2^a-2^b é múltiplo de 35. Aliás, 2^a-2^b é múltiplo de 35 *se e somente se* a-b é múltiplo de 12 (isto tem de ser mostrado com mais calma. Por quê?). Mas essa informação acima ajuda. Afinal, se as potências 36x+y=2^a e 36y+x=2^b forem iguais, você pode encontrar uma contradição sem muito esforço (como?). Se as potências forem diferentes, o raciocínio acima mostra que... (se você não quiser ver o resto, pare aqui) ...a diferença entre os expoentes é pelo menos 12, isto é, um dos fatores é pelo menos 2^12 = 4096 vezes o outro, e isto também leva a uma contradição (por quê?). Abraço, Ralph Ecass Dodebel wrote: > >Demonstrar que quaisquer que sejam os inteiros positivos x e y, o produto > >(36x+y).(36y+x) não pode ser uma potência de 2. > > > É só fazer a diferença dos fatores, dá 35(x-y), a diferença de duas > potências de 2 não pode ser múltipla de 35, que não é um primo de Mersenne.
Re: contratempo
Ola Duda, Tudo Legal ? Alguem ja disse - e creio que com acerto - que "Um Leao se conhece pela pata", vale dizer, que um verdadeiro talento inevitavelmente se revela naquilo que ele produz ... Em verdade, quem tem que lhe agradecer somos nos, pela(s) belissima(s) solucao(oes) com que voce nos tem brindado. Parabens ! Paulo Santa Rita 2,1436,10072000 On Sun, 09 Jul 2000 03:37:03 GMT "Ecass Dodebel" <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > >>From: "Filho" <[EMAIL PROTECTED]> >>Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >>To: "discussão de problemas" <[EMAIL PROTECTED]> >>Subject: contratempo >>Date: Sat, 8 Jul 2000 22:38:46 -0300 >> >>Contratempos.Desculpem!!! ok >> >>Agora, vamos ao trabalho. Preciso de ajuda. >> >>Demonstrar que a equação x^2 + y^2 - z^2 = 1997 tem >infinitas soluções >>inteiras. >> > >Caro colega Filho, > >Vou usar novamente # como sinal de soma >x^2 # y^2 - z^2 = >x^2 # (y # z)(y - z) = "faça (y # z)=1 " >x^2 # 1 * (1 - 2z) = >x^2 - (2z - 1) >Agora fica fácil de ver que se "x" for par, existirá >sempre um "z" de modo >que a diferença acima seja 1997. >Tome x=2k >4k^2 - (2z - 1) = 1997, tiramos que >z = 2k^2 - 998, logo >(2k , 999-2k^2 , 2k^2-998) = (x,y,z) são infinitas >soluções para k natural. > >Obrigado! > >Eduardo Casagrande Stabel. > > >Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at >http://www.hotmail.com > Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: ajuda
>From: "Filho" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: "discussão de problemas" <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: ajuda >Date: Sun, 9 Jul 2000 22:21:40 -0300 > >Demonstrar que quaisquer que sejam os inteiros positivos x e y, o produto >(36x+y).(36y+x) não pode ser uma potência de 2. > > >Valeu Stabel pela questão anterior. É só fazer a diferença dos fatores, dá 35(x-y), a diferença de duas potências de 2 não pode ser múltipla de 35, que não é um primo de Mersenne. Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: faixa de hipérbole
On Sun, 9 Jul 2000, Marcelo Souza wrote: > Olá > Alguém poderia me ajudar enviando a solução do exercício abaixo > - Dada a decomposição di intervalo [a,b] em intervalos justapostos, o "erro" > que se comete ao tomar-se a área do polígono retangular P ao invés da área > da faixa H(a)_b é a diferença E=(área de H(a)_b) - (área de P). Prove que se > tem E decomposição. > Conclua que, fixado [a,b], podemos tornar o erro E tão pequeno quanto se > deseje (digamos E de intervalos de pequeno comprimento. (digamos, todos menores que a.e'). em > particular, o erro que se comete ao se substituir a área da faixa H(b)_1 > pela área de um polígono retangular inscrito é inferior ao comprimento do > maior intervalo da decomposição. > Notações: > H(a)_b = faixa da hiperbole limitada pelas abscissas a e b, b>a > não sei se precisa dizer, mas a função que determina essa hipérbole é > y=1/x... > Obrigado > Abraços > Marcelo > > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com > Isto que você está estudando é a definição de integral via somas de Riemann e você pode ver este assunto em grande detalhe em um livro introdutório de análise, como por exemplo o Curso de Análise, vol. 1, Elon L. Lima, projeto euclides. Em todo caso, a área A determinada por a < x < b, 0 < y < 1/x claramente satisfaz (b-a)/b < A < 1/2 * (b-a)(1/a + 1/b) pois a expressão da esquerda é a área de um retângulo contido na região original e a expressão da direita é a área de um trapézio contido na região original (vide figura). A estimativa que você quer segue facilmente. []s, N. Figura de uma hiperbole (hyp.gif)
