Re: estranho
Um conjunto eh enumeravel quando eh possivel estabelecer uma bijecao entre o conjunto dado e o conjunto dos numeros naturais. Isto acontece com o conjunto dos racionais mas nao com o conjunto dos reais. Acredito que por isso pode-se dizer que o infinito dos reais eh "maior" que o infinito dos racionais. Quanto ao seu problema temos: S = 1 +2/2 +3/4 +4/8 +5/16 + ... (1) S/2 = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + (2) Fazendo (1) - (2) teremos: S/2 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... S/2 = 1/(1/2) = 2 logo S = 4. []'s MP - Original Message - From: "Eduardo Favarão Botelho" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, September 11, 2000 11:00 PM Subject: estranho Espera aí! Que negócio é esso de que um infinito é maior que o outro? como assim ser Q um conjunto enumerável? Estou confuso. E aproveitando a deixa, gostaria de deixar um problema bonitinho: calcule S, sendo S = 1 +2/2 +3/4 +4/8 +5/16 + ... Abraços, Eduardo Um exemplo: tome o conjunto dos números reais R. lembre-se que Q (conjunto dos numeros racionais) e I (conjunto dos numeros irracionais) estao contidos em R. Escolha um elemento de R aleatoriamente. Sabe qual e a probabilidade desse elemento ser racional? ZERO, apesar de Q ser um conjunto infinito e denso em R e portanto esse evento e perfeitamente possivel. Isto decorre do fato de Q ser um conjunto enumeravel (se e que isso faz algum sentido para voce) e I, assim como R nao sao enumeraveis, ou seja sao "muito maiores".
soma
Sauda,c~oes,
Para somar se'ries, infinitas ou n~ao, geralmente
e' boa ide'ia tentar escreve^-las como
S_n = \sum_{p\leq i\leq q} f(i) = f(p) + f(p+1) + \cdots + f(q),
onde p=0 ou 1 e q=n-1, ou n ou n+1.
Para a soma
S = 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 + \cdots,
vamos fazer p=0, q=n e deixamos f(i) para o leitor.
Calculemos S_n e fa,camos
S = \lim_{n \to \infty} S_n, onde \to representa ---.
Damos os detalhes numa pro'xima mensagem.
[ ]'s
Luís
-Mensagem Original-
De: Eduardo Favarão Botelho [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Segunda-feira, 11 de Setembro de 2000 23:00
Assunto: estranho
Espera aí!
Que negócio é esso de que um infinito é maior que o outro? como assim
ser Q um conjunto enumerável?
Estou confuso.
E aproveitando a deixa, gostaria de deixar um problema bonitinho:
calcule S, sendo
S = 1 +2/2 +3/4 +4/8 +5/16 + ...
Abraços, Eduardo
Um exemplo:
tome o conjunto dos números reais R.
lembre-se que Q (conjunto dos numeros racionais) e I (conjunto dos numeros
irracionais) estao contidos em R.
Escolha um elemento de R aleatoriamente.
Sabe qual e a probabilidade desse elemento ser racional?
ZERO, apesar de Q ser um conjunto infinito e denso em R e portanto esse
evento e perfeitamente possivel.
Isto decorre do fato de Q ser um conjunto enumeravel (se e que isso faz
algum sentido para voce) e I, assim como R nao sao enumeraveis, ou seja sao
"muito maiores".
Propriedades tautocrona e Braquistocrona da cicloide
Desculpem reenviar esta msg mas acredito que qdo enviei pela primeira vez havia muitas questoes ssobre a olimpiada Brasileira ... reenvio na esperanca de que alguem posa me ajudar. obrigado. Alguem conhece uma demonstracao de que a curva com a propriedade tautocrona (e braquistocrona) é um arco de cicloide? Eu vi a pouco tempo uma demonstracao que usava transformada de Laplace .. esta, no entanto, nao me interessa ... se alguem puder ajudar me mostrando outra demonstracao ou alguma bibliografia agradeco. []'s MP
Re: estranho
On Mon, 11 Sep 2000, Eduardo Favarão Botelho wrote:
Espera aí!
Que negócio é esso de que um infinito é maior que o outro? como assim
ser Q um conjunto enumerável?
Estou confuso.
E aproveitando a deixa, gostaria de deixar um problema bonitinho:
calcule S, sendo
S = 1 +2/2 +3/4 +4/8 +5/16 + ...
Abraços, Eduardo
Um exemplo:
tome o conjunto dos números reais R.
lembre-se que Q (conjunto dos numeros racionais) e I (conjunto dos numeros
irracionais) estao contidos em R.
Escolha um elemento de R aleatoriamente.
Sabe qual e a probabilidade desse elemento ser racional?
ZERO, apesar de Q ser um conjunto infinito e denso em R e portanto esse
evento e perfeitamente possivel.
Isto decorre do fato de Q ser um conjunto enumeravel (se e que isso faz
algum sentido para voce) e I, assim como R nao sao enumeraveis, ou seja sao
"muito maiores".
Um conjunto infinito X é enumerável se existe bijeção entre X e N,
o conjunto dos naturais.
O cardinal de X é igual ao de Y se existe bijeção entre X e Y.
Escreve-se |X| = |Y|.
X é infinito enumerável se |X| = |N|.
O cardinal de X é maior ou igual do que o de Y se existir:
(a) função injetora de Y para X;
(b) função sobrejetora de X para Y.
As condições (a) e (b) são equivalentes.
Escreve-se |X| = |Y|.
Naturalmente, escreve-se |X| |Y| quando |X| = |Y| mas |X| != |Y|
(onde != significa 'diferente de', ou seja, 'não igual a').
Pode-se demonstrar que |N| = |Z| = |Q| |R| = |C|,
onde estes são os conjuntos dos naturais, inteiros, racionais,
reais e complexos.
Para qualquer conjunto X, sempre temos |X| |P(X)|,
onde P(X) = {Y | Y é subconjunto de X} é o conjunto das partes de X.
Para quaisquer conjuntos infinitos X e Y temos |X| = |Y| ou |Y| = |X|
e |X U Y| = |X x Y| = max(|X|,|Y|).
O assunto é grande, veja um bom livro de teoria dos conjuntos,
como Naïve Set Theory, Halmos (existe tradução).
[]s, N.
Re: soma
Ola Eduardo,
Tudo Legal ?
Se voce observar bem, a serie que voce quer somar pode ser
interpretada como o produto ordenado de uma Progressao
Aritmetica por uma Progressao Geometrica ... De fato, em
1/(2^0) + 2/(2^1) + 3/(2^2) + 4/(2^3) + ...
os numeradores formam a Progressao Aritmetica :
1,2,3,4,5, Os denominadores formam a Progressao
Geometrica: 1, 1/2, 1/4, 1/8, ...
Seja An = A1 + (N-1)*R o termo geral de uma PA e Gn =
G1*(q^(N-1)) o termo geral da Progressao Geometrica.
Queremos estudar Tn = An*Gn.
Para tanto, faca :
Tn = [A1 + (N-1)*R]*G1*(q^(N-1))
Entao :
T1 = A1*G1
T2 = (A1 + R)*G1*q
T3 = (A1 + 2*R)*G1*(q^2)
...
Tn = [A1 + (N-1)*R]*G1*(q^(N-1))
S = T1 + T2 + T3 + ... + Tn
q*S = q*T1 + q*T2 + q*T3 + ... + q*Tn
S - q*S =(T2 - q*T1) + (T3 - q*T2) + (T4 - q*T3) + ... + (Tn
- q*Tn-1) + T1 - q*Tn
(1 - q)*S=R*G1*q + R*G1*(q^2) + R*G1*(q^3) + ... +
R*G1*(q^(N-1)) + T1 - q*Tn
(1-q)*S=R*G1*q( 1 + q + q^2 + ... + q^(N-2) ) + T1 - q*Tn
(1-q)*S=R*G1*q[(q^(N-1) - 1)/(q - 1) ] + T1 - q*Tn
(q-1)*S=(q*Tn - T1) - [ (q^(N-1) - 1))/((q -1)^2) ]*R*G1*q
S = (q*Tn - T1)/(q-1) - [ (q^(N-1) - 1))/((q -1)^2) ]*R*G1*q
Esta seria a "Formula do Termo Geral" para este tipo de
serie, no caso de um numero finito de termos. Todavia, se
modulo(q) 1 entao q^N - 0 ( tende a zero ) quando N tende
ao infinito e, portanto, Tn tambem tende a zero. Assim, no
Limite :
lim S = T1/(1 - q) + (R*G1*q)/(q - 1)^2 , ou
lim S = (A1*G1)/(1 - q) + (R*G1*q)/(q - 1)^2 , ou
lim S = [ A1 + ( q/(1 - q) )*R ]*(G1/(1 - q))
Esta ultima expressao e a que achei mais bonita e que
portanto a que merece perdurar. ( A matematica e o reino da
Beleza ... O que e feio guarda defeitos nao percebidos e nao
permanece ... Quando voce vislumbra a Beleza e Simetria de
uma formula ou construcao, pode ter certeza que encetou pelo
caminho correto e que o levara a uma compreensao mais
profunda do tema ... )
No caso da sua serie :
A1 = primeiro termo da PA = 1
G1 = primeiro termo da PG = 1
R = razao da PA = 1
q = razao da PG = 1/2 ( modulo(q) 1 )
Logo:
Lim S = [1 + ((1/2)/(1 - 1/2))*1]*(1/(1 - 1/2))
Lim S = 2*2 = 4
Trink than weing, was die zimember zimber !
Um Abraco
Paulo Santa Rita
3,1509,12092000
On Tue, 12 Sep 2000 12:24:47 -0300
"Luis Lopes" [EMAIL PROTECTED] wrote:
Sauda,c~oes,
Para somar se'ries, infinitas ou n~ao, geralmente
e' boa ide'ia tentar escreve^-las como
S_n = \sum_{p\leq i\leq q} f(i) = f(p) + f(p+1) + \cdots
+ f(q),
onde p=0 ou 1 e q=n-1, ou n ou n+1.
Para a soma
S = 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 + \cdots,
vamos fazer p=0, q=n e deixamos f(i) para o leitor.
Calculemos S_n e fa,camos
S = \lim_{n \to \infty} S_n, onde \to representa ---.
Damos os detalhes numa pro'xima mensagem.
[ ]'s
Luís
-Mensagem Original-
De: Eduardo Favarão Botelho [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Segunda-feira, 11 de Setembro de 2000 23:00
Assunto: estranho
Espera aí!
Que negócio é esso de que um infinito é maior que o
outro? como assim
ser Q um conjunto enumerável?
Estou confuso.
E aproveitando a deixa, gostaria de deixar um problema
bonitinho:
calcule S, sendo
S = 1 +2/2 +3/4 +4/8 +5/16 + ...
Abraços, Eduardo
Um exemplo:
tome o conjunto dos números reais R.
lembre-se que Q (conjunto dos numeros racionais) e I
(conjunto dos numeros
irracionais) estao contidos em R.
Escolha um elemento de R aleatoriamente.
Sabe qual e a probabilidade desse elemento ser racional?
ZERO, apesar de Q ser um conjunto infinito e denso em R e
portanto esse
evento e perfeitamente possivel.
Isto decorre do fato de Q ser um conjunto enumeravel (se
e que isso faz
algum sentido para voce) e I, assim como R nao sao
enumeraveis, ou seja sao
"muito maiores".
Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
sobre conjunts do além
Lendo mensagens sobre bijeções, conjuntos enumeraveis e tal (casualmente um
assunto atual da lista, já que meu relógio biológico deve estar atrasado em
mais de um mês... estou totalmente perdido no espaço-tempo... enfim...) me
caiu uma dúvida:
eixstem conjuntos com números não contidos no conjunto dos reais e no
conjunto dos complexos? Não consigo imaginar nenhum... mas meu conhecimento
nessa área...
Abraço,
Benjamin Hinrichs
- Original Message -
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, September 12, 2000 1:53 PM
Subject: Re: estranho
On Mon, 11 Sep 2000, Eduardo Favarão Botelho wrote:
Espera aí!
Que negócio é esso de que um infinito é maior que o outro? como
assim
ser Q um conjunto enumerável?
Estou confuso.
E aproveitando a deixa, gostaria de deixar um problema bonitinho:
calcule S, sendo
S = 1 +2/2 +3/4 +4/8 +5/16 + ...
Abraços, Eduardo
Um exemplo:
tome o conjunto dos números reais R.
lembre-se que Q (conjunto dos numeros racionais) e I (conjunto dos
numeros
irracionais) estao contidos em R.
Escolha um elemento de R aleatoriamente.
Sabe qual e a probabilidade desse elemento ser racional?
ZERO, apesar de Q ser um conjunto infinito e denso em R e portanto esse
evento e perfeitamente possivel.
Isto decorre do fato de Q ser um conjunto enumeravel (se e que isso faz
algum sentido para voce) e I, assim como R nao sao enumeraveis, ou seja
sao
"muito maiores".
Um conjunto infinito X é enumerável se existe bijeção entre X e N,
o conjunto dos naturais.
O cardinal de X é igual ao de Y se existe bijeção entre X e Y.
Escreve-se |X| = |Y|.
X é infinito enumerável se |X| = |N|.
O cardinal de X é maior ou igual do que o de Y se existir:
(a) função injetora de Y para X;
(b) função sobrejetora de X para Y.
As condições (a) e (b) são equivalentes.
Escreve-se |X| = |Y|.
Naturalmente, escreve-se |X| |Y| quando |X| = |Y| mas |X| != |Y|
(onde != significa 'diferente de', ou seja, 'não igual a').
Pode-se demonstrar que |N| = |Z| = |Q| |R| = |C|,
onde estes são os conjuntos dos naturais, inteiros, racionais,
reais e complexos.
Para qualquer conjunto X, sempre temos |X| |P(X)|,
onde P(X) = {Y | Y é subconjunto de X} é o conjunto das partes de X.
Para quaisquer conjuntos infinitos X e Y temos |X| = |Y| ou |Y| = |X|
e |X U Y| = |X x Y| = max(|X|,|Y|).
O assunto é grande, veja um bom livro de teoria dos conjuntos,
como Naïve Set Theory, Halmos (existe tradução).
[]s, N.
Fw: estranho
A traducao a que o Nicolau se referiu eh
Halmos, Teoria Ingenua dos Conjuntos
- Original Message -
From: "Nicolau C. Saldanha" [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, September 12, 2000 1:53 PM
Subject: Re: estranho
On Mon, 11 Sep 2000, Eduardo Favarão Botelho wrote:
Espera aí!
Que negócio é esso de que um infinito é maior que o outro? como
assim
ser Q um conjunto enumerável?
Estou confuso.
E aproveitando a deixa, gostaria de deixar um problema bonitinho:
calcule S, sendo
S = 1 +2/2 +3/4 +4/8 +5/16 + ...
Abraços, Eduardo
Um exemplo:
tome o conjunto dos números reais R.
lembre-se que Q (conjunto dos numeros racionais) e I (conjunto dos
numeros
irracionais) estao contidos em R.
Escolha um elemento de R aleatoriamente.
Sabe qual e a probabilidade desse elemento ser racional?
ZERO, apesar de Q ser um conjunto infinito e denso em R e portanto esse
evento e perfeitamente possivel.
Isto decorre do fato de Q ser um conjunto enumeravel (se e que isso faz
algum sentido para voce) e I, assim como R nao sao enumeraveis, ou seja
sao
"muito maiores".
Um conjunto infinito X é enumerável se existe bijeção entre X e N,
o conjunto dos naturais.
O cardinal de X é igual ao de Y se existe bijeção entre X e Y.
Escreve-se |X| = |Y|.
X é infinito enumerável se |X| = |N|.
O cardinal de X é maior ou igual do que o de Y se existir:
(a) função injetora de Y para X;
(b) função sobrejetora de X para Y.
As condições (a) e (b) são equivalentes.
Escreve-se |X| = |Y|.
Naturalmente, escreve-se |X| |Y| quando |X| = |Y| mas |X| != |Y|
(onde != significa 'diferente de', ou seja, 'não igual a').
Pode-se demonstrar que |N| = |Z| = |Q| |R| = |C|,
onde estes são os conjuntos dos naturais, inteiros, racionais,
reais e complexos.
Para qualquer conjunto X, sempre temos |X| |P(X)|,
onde P(X) = {Y | Y é subconjunto de X} é o conjunto das partes de X.
Para quaisquer conjuntos infinitos X e Y temos |X| = |Y| ou |Y| = |X|
e |X U Y| = |X x Y| = max(|X|,|Y|).
O assunto é grande, veja um bom livro de teoria dos conjuntos,
como Naïve Set Theory, Halmos (existe tradução).
[]s, N.
Re: PA
Em Thu, 10 Aug 2000 23:14:38 -0300 Augusto Morgado Escreveu: Aron Roberto Ferreira wrote: Ol?! Tentei resolver o problema abaixo e a resposta nao bate com a do autor(Bezerra). Alguem da lista poderia conferir minha resolucao? O problema: "Qual e a razao de uma progressao aritmetica em que a*1 = 1 e a* (n+2) = n^2". Resolucao escrevendo a PA (1, ...,n^2,...) pelo termo geral eu fiz n^2=1+(n-1)r AQUI ESTA O ERRO, ESTE EH O TERMO DE ORDEM n+2 E NAO DE ORDEM n. DEVERIA SER n^2=1+((n+2)-1)r n^2-1= (n-1)r (n^2-1)/(n-1)=r (n+1)(n-1)/(n-1)=r r= n+1 A resposta do autor e (n - 1). ( a*1 significa a indice 1 ) Se eu errei, me ajudem. obrigado! --- Analise desta forma: Veja os dados: a*1=1 a*(n+2)= n^2 colocando n+2=t ,temos a*t=(t-2)^2 , o que nos daria a*t=t^2 -4t +t considerando que essa ultima expressao e a formula para o termo geral e que somente queremos calcular o valor da razao. Pq nao substituimos os valores de t (t pertencente aos naturais diferentes de zero)e calculamos a razao, visto que isso nos forneceria um valor independente de t (constante). Pq o valor de a*1=1 a*2=0 e a*3=1. Essa ultima observacao nao descaracterizaria a PA. Abracos!! MailBR - O e-mail do Brasil -- http://www.mailbr.com.br Faça já o seu. É gratuito!!!
Re: PA
Caro Aron, Em minha opiniao, este autor Bezerra ( Este autor ou e muito novo ou e muito velho, com certeza. ) teve o seu livro impresso com erros ... isso acontece, as vezes. Digo isso porque : 1)Se a1=1 e a(n+2)=n^2, entao a2=a(0+2)=0^2=0 a1, a3=a(1+2)=1^2=1. Assim, a sequencia: a1,a2,a3 seria 1,0,1. Nao e uma PA. Talvez a definicao correta seja: a1=1, a2=algum valor, a(n+2)=n^2 para n 1. Mesmo com a modificacao acima, ainda surgem problemas... por que ? Porque uma PA nao pode ter o seu termo geral definida por um polinomio do segundo grau da forma N^2. Para ver isso, suponha : a(n+2)=n^2, n = 1 entao : a((p+1)+ 2) - a(p+2)=(p+1)^2 - p^2 = 2*p +1 Isso mostra que a diferenca entre dois termos consecutivos nao e constante, mas varia linearmente com a posicao: um absurdo, dado que em uma PA, por definicao, esta diferenca e constante e e o invariante que caracteriza este tipo de sequencia. Uma sequencia em que o termo geral e um polinomio do 2 grau e uma progressao aritmetica de 2 ordem. Nestas progressoes ( cujo prototipo e a terceira coluna do triangulo de pascal ) a formula do termo geral e : CONVENCAO : [N,P] = Numero binomial de numerador N e denominador P. Se N P entao , [N,P]=0 An = [N,0]*A1 + [N,1]*(A2 - A1), E da soma e: Sn = [N,1]*A1 + [N,2]*(A2 - A1) De maneira geral, se (A1,A2,A3, ... ,An) e uma progressao aritmetica de ordem P, entao (A1^R, A2^R, A3^R, ..., An^R) e uma progressao aritmetica de ordem P*R ( P vezes R ) No seu caso An=N e uma progressao aritmetica de ordem 1, logo An=N^2 e de ordem 1*2=2 (ordem 2). Voce pode estender este conceito de ordem para valores negativos e fracionarios ! Um Abraco Paulo Santa Rita 3,1624,12092000 On Ter, 12 Set 2000 13:24:07 Fabricio Damasceno [EMAIL PROTECTED] wrote: Em Thu, 10 Aug 2000 23:14:38 -0300 Augusto Morgado Escreveu: Aron Roberto Ferreira wrote: Ol?! Tentei resolver o problema abaixo e a resposta nao bate com a do autor(Bezerra). Alguem da lista poderia conferir minha resolucao? O problema: "Qual e a razao de uma progressao aritmetica em que a*1 = 1 e a* (n+2) = n^2". Resolucao escrevendo a PA (1, ...,n^2,...) pelo termo geral eu fiz n^2=1+(n-1)r AQUI ESTA O ERRO, ESTE EH O TERMO DE ORDEM n+2 E NAO DE ORDEM n. DEVERIA SER n^2=1+((n+2)-1)r n^2-1= (n-1)r (n^2-1)/(n-1)=r (n+1)(n-1)/(n-1)=r r= n+1 A resposta do autor e (n - 1). ( a*1 significa a indice 1 ) Se eu errei, me ajudem. obrigado! --- Analise desta forma: Veja os dados: a*1=1 a*(n+2)= n^2 colocando n+2=t ,temos a*t=(t-2)^2 , o que nos daria a*t=t^2 -4t +t considerando que essa ultima expressao e a formula para o termo geral e que somente queremos calcular o valor da razao. Pq nao substituimos os valores de t (t pertencente aos naturais diferentes de zero)e calculamos a razao, visto que isso nos forneceria um valor independente de t (constante). Pq o valor de a*1=1 a*2=0 e a*3=1. Essa ultima observacao nao descaracterizaria a PA. Abracos!! MailBR - O e-mail do Brasil -- http://www.mailbr.com.br Faça já o seu. É gratuito!!! Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
